Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

168 KAPITEL 5. INTEGRATION
§ 650 Neben der Flächenbestimmung hat die Interpretation der Integration als Summation
über viele infinitesimal kleine Teilelemente weitere Anwendungen in der Physik. Dazu
gehört z.B. die Bestimmung des Schwerpunkts oder des Trägheitsmoments eines ausgedehnten
Körpers.
5.2 Integration von Funktionen einer Variablen
§ 651 Von den beiden in der Motivation vorgeschlagenen Zugängen zur Integration wählen
wir hier die formalere Variante: aus der bekannten Änderung einer Funktion ist die Funktion
selbst zu bestimmen. Die gegebenen Funktion entspricht damit der Ableitung einer zu
bestimmenden Funktion, der Stammfunktion. Integration ist also die Umkehrung der Differentiation,
d.h. das Auffinden der Stammfunktion:
Definition 49 Eine Funktion F (x) heißt Stammfunktion zu f(x), wenn gilt F ′ (x) = f(x).
§ 652 Für das Auffinden der Stammfunktion, d.h. die Integration, schreibt man
∫
f(x) dx = F (x) + C . (5.1)
Darin ist C eine Integrationskonstante. Ihre Existenz besagt, dass die Integration kein eindeutiger
Vorgang ist, sondern dass die Stammfunktion nur bis auf diese Integrationskonstante
bestimmt werden kann: die Funktion f(x) gibt die Änderung der gesuchten Funktion F (x)
in jedem Punkt x an – jedoch ohne einen einzigen Wert von F (x) festzulegen. Wir kennen
also in jedem Punkt das dF , nicht jedoch das F . Daher erhalten wir bei der Integration unendlich
viele, entlang der y-Achse parallel zueinander verschobene Stammfunktionen. Diese
Unbestimmtheit wird durch die Integrationskonstante symbolisiert. Kennen wir den Wert von
F (x) an einer einzigen Stelle, d.h. haben wir einen Anfangswert oder eine Randbedingung,
so wird eindeutig eine Funktion aus dieser Schar von Stammfunktionen ausgewählt und die
Integrationskonstante C kann bestimmt werden.
§ 653 Betrachten wir ein Beispiel für die Verwendung eines Anfangswertes. Der von einem
Körper mit der Geschwindigkeit v = at mit a = 4 m/s 2 zurückgelegte Weg ist gegeben als
∫ ∫
s = v dt = at dt = a 2 t2 + c = 2 m/s 2 t 2 + c . (5.2)
Eine Anfangsbedingung sagt, dass sich der Körper zur Zeit t = 0 bei s = 4 m befand. Intuitiv
ist klar, dass die Lösung s = 2 m/s 2 t 2 + 4 m ist. Formal erhalten wir diese Lösung, indem
wir den Anfangswert in (5.2) einsetzen:
s(0) = 4 m = 2 m/s 2 (0 s) 2 + c ⇒ c = 4 m .
Wir hätten die Anfangsbedingung auch gleich als Integrationsgrenze verwenden können:
s(t) − s(0) =
∫ t
0
v(t) dt ⇒ s(t) = 2t 2 m s 2 + 4 m .
§ 654 Zu jeder stetigen Funktion f(x) gibt es daher unendlich viele Stammfunktionen F i (x),
die sich durch eine additive Konstante unterscheiden: F 1 (x) − F 2 (x) = const. Oder anders
formuliert: ist F 1 (x) eine Stammfunktion zu f(x), so ist es auch F 1 (x)+C. Daher lässt sich die
Menge aller Stammfunktionen in der Form F (x) = F 1 (x)+C darstellen, mit C = const. Diese
Unbestimmtheit entsteht, da die Ableitung einer Konstanten verschwindet. Die Ableitungen
der Funktionen
sind alle
y 1 = x 2 + 5 , y 2 = x 2 + 9 , y 3 = x 2 − 8 , y 4 = x 2 + n
y ′ 1 = y ′ 2 = y ′ 3 = y ′ 4 = 2x .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode