Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

266 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 1006 JPEG wird genauer beschrieben in [56], Witten et al. [75] und [72]; letzteree beschreiben
auch andere gebräuchliche (und ebenfalls verlustbehaftete) Kompressionsalgorithmen wie
MPEG und MP3.
7.8 Gewöhnliche Differentialgleichungen in der Physik
§ 1007 Differentialgleichungen treten in vielen Bereichen der Physik auf. Viele auf den ersten
Blick sehr verschiedene physikalische Probleme lassen sich jedoch formal identisch beschreiben.
Diese häufig verwendeten DGLs lassen sich in drei Gruppen einteilen:
• einfache Zerfalls- bzw. Wachstumsgleichungen sind gewöhnliche homogene lineare DGLs
erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Sie haben die Form
{
a > 0 Wachstum
ẋ = ax mit a = const
a < 0 Zerfall, Abbau
Anwendungsbeispiele sind
– radioaktiver Zerfall : Ṅ = −λN mit λ > 0,
– Bewegung mit Stokes’scher Reibung: ˙v = −δv mit δ = β/m,
– Entladen eines Kondensators: ˙q = −q/(RC),
– Dichteschichtung p(h) der Atmosphäre (barometrische Höhenformel): dp = −ϱg dh, sowie
– exponentielles Wachstum: Ṅ = λN mit λ > 0.
• lineare homogene DGL erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten und additiver Konstante
in der Form
ẋ = ax + b mit a, b = const .
Anwendungsbeispiele sind
– Fall mit Stokes’scher Reibung, ˙v = −βv − mg, mit der Zielfunktion v(t);
– Aufladen eines Kondensators, ˙q = −q/(RC) + U/R, mit der Zielfunktion q(t).
Einige interessante Erweiterungen beinhalten statt der additiven Konstante einen von der
abhängigen oder unabhängigen Variablen abhängigen Term:
– Newtons Abkühlungsgesetz, T ˙ = −j(T − A(t)), mit k als Parameter und A oder A(t)
als vorgegebener Funktion,
– logistisches Populationsmodell, ṗ = kp(1 − p).
• lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung in vielfältiger Form, häufig ausgehende
vom zweiten Newton’schen Axiom:
ẍ + aẋ + bx = f(t) .
Im einfachsten Fall sind die Koeffizienten a und b konstant. Einfache Beispiele sind:
– freier Fall: mẍ = −mg,
– Bewegung eines Massenpunktes in einem vorgegebenen Potential V (x): mẍ = −dV (x)/dx =
−∇V (x)
– Schwingung mit externem Treiber, z.B. in der mechanischen Form oder im elektrischen
Schwingkreis: ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = f e iΩt ,
7.8.1 Differentialgleichung erster Ordnung
Zerfallstyp
§ 1008 Das Standardbeispiel für eine homogene DGL erster Ordnung in der Physik ist der
radioaktive Zerfall wie bereits in § 880 beschrieben. Die Zahl dN/dt der pro Zeiteinheit
zerfallenden Atome ist proportional der Zahl N der vorhandenen Atome und einer Zerfallskonstanten
λ [s −1 ]; zur Zeit t = t 0 sind N(t 0 ) = N 0 Atome vorhanden (Anfangsbedingung).
Damit ergibt sich die bereits aus (7.1) bekannte DGL
Ṅ = −λN mit N(t 0 ) = N 0 .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode