Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.6. DIFFUSION 429
§ 1597 In allgemeiner Form ist die Diffusionsgleichung gegeben als
∂n(⃗r, t)
= D∆n(⃗r, t)
∂t
mit n als der Teilchenzahldichte und D als dem Diffusionskoeffizienten. Die Wärmeleitungsgleichung
ist formal äquivalent
∂T
∂t = λ cϱ ∆T
mit T als der Temperatur und λ/(cϱ) als der Temperaturleitzahl, in die das Wärmeleitvermögen
λ, die spezifische Wärmekapazität c und die Dichte ϱ des Stoffes eingehen.
11.6.2 Random Walk und mittleres Abstandsquadrat
§ 1598 Die Idee eines diffusiven Prozesses wollen wir am Beispiel einer eindimensionalen
Bewegung mit Start im Ursprung betrachten. Eine Ameise kann sich jeweils um einen Schritt
λ (korrekt: eine mittlere freie Weglänge λ) in positive oder negative x-Richtung bewegen.
Am jeweiligen Ankunftsort trifft sie erneut die Entscheidung für eine Weiterbewegung mit
+λ oder −λ. Wie weit ist die Ameise nach N Schritten vom Ursprung entfernt?
§ 1599 Intuitiv sicherlich nicht Nλ, denn das würde bedeuten, dass diese Ameise sich immer
nur in einer Richtung bewegt. Dass sich die Ameise wieder genau am Ursprung befindet,
ist auch nicht sehr wahrscheinlich, da dafür die Zahl der Schritte in positiver und negativer
Richtung exakt gleich sein müsste. Also irgendwo dazwischen. Aber wo? Und wo wäre eine
zweite Ameise, die sich unabhängig von der ersten durch die Gegend bewegt? Wahrscheinlich
nicht exakt am gleichen Ort, d.h. viele Ameisen würden sich nach jeweils N Schritten
an verschiedenen Orten wieder finden: aus dem Ameisenpeak zu Beginn der Bewegung, formal
beschreibbar durch eine δ-Injektion, ist eine Verteilung von Ameisen um den Ursprung
entstanden. Diese Verteilung (und ihre Veränderung mit der Zeit) wird durch die Diffusionsgleichung
bestimmt.
§ 1600 Wollen wir statt mit der Verteilung nur mit einer einzelnen Größe arbeiten, so lässt
sich, wie bei allen Zufallsprozessen, nur ein mittlerer Wert bestimmen, in diesem Fall der
erwartete Abstand (oder mittlerer quadratischer Abstand), definiert als das Quadrat der
Summe der einzelnen Schritte dx i :
( N
) 2
∑
N∑ N∑
〈∆x〉 2 = dx i = (dx 1 + dx 2 + dx 3 + ... + dx N ) 2 = dx i dx j .
i=1
i=1 j=1
Die einzelnen Versetzungen dx i sind entweder +λ oder −λ, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0.5. Die Produkte dx i dx j sind daher entweder +λ 2 oder −λ 2 . Für i ≠ j sind dx i
und dx j unabhängig, d.h. negative wie positive Werte des Produktes haben eine Wahrscheinlichkeit
von 0.5 und heben sich in der Summe weg. Es bleiben die Produkte mit i = j, die
jeweils +λ 2 sind:
〈∆x〉 2 = Nλ 2 , (11.37)
d.h. mit zunehmender Schrittzahl N nimmt der mittlere quadratische Abstand vom Ursprung
mit √ N zu.
§ 1601 Hat die Ameise eine Geschwindigkeit v, so legt sie während einer Zeit t die Strecke
s = v t zurück. Ausgedrückt in der Zahl N der Richtungsänderungen und der Strecke λ
zwischen den Richtungsänderungen ist s = Nλ und damit
〈∆x〉 2 = Nλ 2 = vλt = 2Dt (11.38)
mit dem Diffusionskoeffizienten
D = 1 2 vλ
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007