Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.4. ANWENDUNGEN 343
§ 1292 Betrachten wir nun ein Beispiel, in dem das Produkt eines radioaktiven Zerfalls nicht
stabil ist: das Isotop A zerfällt mit einer Zerfallskonstanten λ 1 = 3 in das Tochterisotop B,
das seinerseits mit λ 2 = 5 in das stabile Isotop C zerfällt. Für den Zerfall von A erhalten
wir die normale Zerfallsgleichung. Die Bilanz für das zweite Isotop setzt sich zusammen aus
dem Zerfall dieses Isotops, wieder beschrieben durch eine DGL der Form Ṅ = −λN, sowie
zusätzlich einer Quelle, die gleich dem Verlust im ersten Isotop ist. Für das dritte Isotop C
haben wir keinen Zerfallsterm sondern nur eine Quelle, die durch den Zerfall von B bestimmt
ist. Insgesamt erhalten wir das Gleichungssystem:
Ṅ 1 = −λ 1 N 1 ,
Ṅ 2 = −λ 2 N 2 + λ 1 N 1 und
Ṅ 3 = λ 2 N 2 .
(8.32)
Als Randbedingungen sollen zur Zeit t = 0 nur N 1,0 Kerne des Iosotops A vorhanden sein,
jedoch keine Kerne der Iosotope B und C, d.h. N 2,0 = 0 und N 3,0 = 0.
§ 1293 In Matrixschreibweise ist das Gleichungssystem (8.32)
⎛
˙⃗N = A N ⃗ = ⎝ −λ ⎞
1 0 0
λ 1 −λ 2 0 ⎠ N ⃗
0 λ 2 0
oder nach Einsetzen der Werte für die Zerfallskonstanten
⎛
˙⃗N = A N ⃗ = ⎝ −3 0 0
⎞
3 −5 0 ⎠ N ⃗ .
0 5 0
§ 1294 Zur Lösung des Gleichungssystems bestimmen wir die Eigenwerte
−3 − λ 0 0
|A − λE| =
3 −5 − λ 0
∣ 0 5 −λ ∣ = (3 + λ)(5 + λ)λ = ! 0
zu λ 1 = −3, λ 2 = −5 und λ 3 = 0. Damit ergibt sich als Bedingungen für den Eigenvektor zu
λ 1 :
⎛
⎝ 0 0 0
⎞ ⎛
3 2 0 ⎠ ⎝ u ⎞ ⎛ ⎞
1
0
u 2
⎠ = ⎝ 3u 1 − 2u 2
⎠ = ! 0
0 5 3 u 3 5u 2 + 3u 3
und damit für den Eigenvektor
⎛ ⎞
⃗u 1 =
⎝ 2 3 ⎠ .
−5
Für die anderen Eigenvektoren ergibt sich
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⃗u 2 =
⎝ 0 1 ⎠ und ⃗u 3 =
−1
⎝ 0 0
1
⎠ . (8.33)
Zwischenrechnung 54 Überprüfen! Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren selbsttätig.
§ 1295 Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung wird damit
⎛
⎝ N ⎞
⎛
1
N 2
⎠ = ∑ c i ⃗u i e λit = c 1
⎝ 2 ⎞ ⎛
3 ⎠ e −3t + c 2
⎝ 0 ⎞ ⎛
1 ⎠ e −5t + c 3
⎝ 0 ⎞
0 ⎠ .
N 3 i
−5
−1
1
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007