Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

70 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
§ 283 Als zweites Beispiel beweisen wir die Behauptung B ‘es gibt keine rationale Zahl q
mit q 2 = 2’. Die Negation B lautet ‘es gibt eine rationale Zahl q mit q 2 = 2.’ Da q eine
rationale Zahl ist, lässt sie sich als ein gekürzter Bruch q = a/b darstellen wobei a und b
keinen gemeinsamen Teiler haben. Aus q 2 = 2 folgt a 2 /b 2 = 2 und damit a 2 = 2b 2 . In a
kann der Primfaktor 2 keinmal, einmal, zweimal, dreimal ... auftreten, in a 2 entsprechend
keinmal, zweimal, viermal ... Auch in b 2 kann der Primfaktor 2 nur keinmal, zweimal, viermal
... auftreten und in 2b 2 daher einmal, dreimal, fünfmal ... Dann tritt der Primfaktor 2 aber
auf der linken Seite der Gleichung a 2 = 2b 2 stets in gradzahliger, auf der linken Seite aber
in ungradzahliger Anzahl auf, was ein Widerspruch ist, da ja beide Seiten gleich sind. Also
lässt sich q nicht gleichzeitig als rationale Zahl und als q 2 = 2 darstellen im Widerspruch zu
B. Damit gilt B.
2.5.4 Gegenbeispiel
§ 284 Der Beweis durch Gegenbeispiel ist eigentlich kein Beweis sondern ein Verfahren zur
Widerlegung einer Aussage. Die Grundidee des Verfahrens ist einfach: eine allgemeine Aussage
ist nur dann wahr, wenn sie für alle betroffenen Elemente gilt. Findet sich nur ein einziges
Gegenbeispiel, so ist diese Aussage nicht erfüllt.
§ 285 Die Aussage ‘alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen’ ist nicht allgemein gültig, da
9 = 3 · 3 zwar eine ungerade Zahl ist, andererseits aber als Produkt zweier Zahlen ungleich
eins und sich selbst darstellbar und damit keine Primzahl ist.
2.6 DaVinci decoded? Kaninchen, golden geschnitten
§ 286 Dan Brown’s Da Vinci Code hat neben einigen mehr oder weniger dubiosen Theorien
über den Heiligen Gral auch einige mathematische Spielereien wieder ans Licht der
Öffentlichkeit gespült. Fibonacci Zahlen und der goldene Schnitt waren früher Bestandteile
des bürgerlichen Bildungskanons. Da sie auch eine Beziehung zu Folgen haben, wollen wir sie
hier aus mathematischer Sicht kurz betrachten.
2.6.1 Fibonacci Zahlen
§ 287 Leonardo von Pisa, auch Fibonacci genannt, hat sich Anfang des 13. Jahrhunderts
über die Population von Kaninchen Sorgen gemacht. Die Ausgangsbasis ist ein einzelnes
Paar von Kaninchen. Jedes Kaninchenpaar wirft einmal im Monat ein neues Kaninchenpaar,
das seinerseits seinen ersten Nachwuchs nach zwei Monaten erzeugt. Verluste erleidet diese
Kaninchenpopulation nicht.
§ 288 Sei k j die Zahl der Kaninchenpaare am Anfang des Monats j. Dann ist k j+2 der
Summe aus der Zahl der am Anfang des j + 1 ten Monats lebenden Kaninchenpaare zuzüglich
der Zahl der am Anfang des Monats j + 2 ten geborenen Kaninchenpaare. Letztere ist gleich
der Zahl der zwei Monate vorher lebenden Kaninchenpaare:
k j+2 = k j+1 + k j .
§ 289 In etwas mathematischerer Form wird die so definierte Fibonacci Folge geschrieben
als
F n+1 = F n + F n−1 , n ≥ 1 , F 1 = F 2 = 1 . (2.12)
Die ersten Fibonacci Zahlen sind
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.
Wie von einer Kaninchenpopulation erwartet, wächst die Reihe sehr schnell – da sie wie ein
Vielfaches von x n mit x = 1 2 (√ 5+1) wächst, handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode