Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

284 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
N 0 = 500 Teilchen (verrauschte Kurven) im Vergleich zur analytischen Lösung (grüne Kurve).
Offensichtlich liegen trotz der recht geringen Zahl von Teilchen alle simulierten Kurven N(t)
nahe an der analytischen Lösung. Eine größere Genauigkeit ergäbe sich durch Erhöhung der
Teilchenzahl – und damit auch Erhöhung der Rechenzeit.
§ 1067 Der Nachteil der Monte Carlo Simulation ist damit offensichtlich: sie ist aufwendig,
da eine große Zahl von Teilchen durch eine große Zahl kleiner Zeitschritte verfolgt werden
muss. Und dann ergibt sich noch nicht einmal die exakte Lösung, wie aus dem linken Teil
von Abb. 7.21 ersichtlich. Bietet die Monte Carlo Simulation also irgendeinen Vorteil? Dieser
liegt genau in der Abweichung der einzelnen Lösungen von der analytischen Lösung und
reflektiert die statistische Natur des zu Grunde liegenden physikalischen Prozess. Die analytische
Lösung gibt den Mittelwert einer großen Zahl möglicher Ergebnisse dieses Versuches.
Jedes Ergebnis einer Monte Carlo Simulation gibt eine dieser möglichen Realitäten. Daher
geben erst die kombinierten Ergebnisse einer Vielzahl von Monte Carlo Simulationen eine
Annäherung an das mittlere Ergebnis und damit die analytische Lösung. Mehrere Monte
Carlo Simulationen liefern nicht nur den erwarteten Mittelwert sondern auch die Streuung
der Einzeleregebnisse um diesen Erwartungswert, siehe rechtes Teilbild in Abb. 7.21. Der
zusätzliche Rechenaufwand der Monte Carlo Simulation liefert also zusätzliche Information.
Daher hängt es von der Fragestellung ab, ob eine Monte Carlo Simulation oder ein schnelleres
konventionelles numerisches Verfahren wie Euler oder Leapfrog angemessener ist.
Verständnisfrage 15 Wir haben hier eine Monte Carlo Simulation auf einen statistischen
Prozess angewandt und Vor- und Nachteile diskutiert. Was ist bei Anwendung auf einen
streng deterministischen Prozess (z.B. Bewegung von Elektronen in einem homogene Magnetfeld)
anders? Ist dort eine Monte Carlo Simulation überhaupt hilfreich?
7.9.7 Mathematische Anmerkungen
§ 1068 Bisher haben wir numerische Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen auf eine
anschauliche Art betrachtet. Wir haben uns auf DGLs erster Ordnung beschränkt, um
Probleme bei der Diskretisierung höherer Ableitungen zu vermeiden, und keine Angaben zur
Stabilität oder Genauigkeit der Verfahren gemacht. In diesem Abschnitt sollen diese formalen
Aspekte nachgeliefert werden.
Diskretisierung
§ 1069 Diskretisierung kann formal über die Taylor Entwicklung des Differentialquotienten
hergeleitet werden. Dazu wird die Ausgangsfunktion an der Stelle x i entwickelt:
u k+1 = f(x k+1 ) = f(x k + h) = f(x k ) + h f ′ (x k ) + h2
2! f ′′ (x k ) + h3
3! f ′′′ (x k ) + O(h 4 ) .
Mit f(x k ) = u k lässt sich dies schreiben als
u k+1 − u k
h
= f ′ (x k ) + h 2! f ′′ (x k ) + h2
3! f ′′′ (x k ) + O(h 4 ) . (7.48)
Für h → 0 ist die linke Seite die Definition der Ableitung und kann daher als finite Differenzen
Annäherung an die Ableitung f ′ (x k ) gelesen werden. Der führende Term des Fehlers ist
hf ′′ (x k )/2! = O(h); er ist von erster Ordnung in h. Daher wird eine derartige Diskretisierung
auch als “genau von erster Ordnung” bezeichnet. Das Schema wird als Vorwärts Schema
bezeichnet; es entspricht der Art von Diskretisierung, die wir auch anschaulich verwendet
haben.
§ 1070 Ersetzen wir h durch −h, so ergibt sich ein Rückwärts Schema. Taylor Entwicklung
liefert
u k−1 = f(x k−1 ) = f(x k − h) = f(x k ) − h f ′ (x k ) + h2
2! f ′′ (x k ) − h3
3! f ′′′ (x k ) + O(h 4 )
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode