Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.3. ELEMENTARES INTEGRIEREN 537
Abbildung C.7: Die Fläche
zwischen zwei Funktionen
(schwarz schraffiert) lässt sich
als die Differenz der Flächen
zwischen den Funktionen
(rot und blau schraffiert)
bestimmen
Also müssen wir das Integral in drei Bereiche zerlegen:
∣ ∣ ∫ 3
∫−2
∣∣∣∣∣ ∫2
∣∣∣∣∣ ∫3
(x 2 − 4) dx =
(x 2 − 4) dx
∣
∣ + (x 2 − 4) dx
∣ + (x 2 − 4) dx
∣ .
−3
−3
Ausführen der Integration liefert
∫ 3
[ ] ∣
(x 2 x
3 −2
∣∣∣∣ [ ] ∣
− 4) dx =
∣ 3 − 4x x
3 2 ∣∣∣∣ [ ] ∣ + −3
3 − 4x x
3 3 ∣ + −2
3 − 4x ∣ .
2
−3
−2
Um die Schreibarbeit zu verringern werten wir die Summanden einzeln aus. Für das
erste Teilintegral ergibt sich
T 1 =
(−2) 3
( (−3)
3 ∣∣∣ ∣ − 4(−2) − − 4(−3))∣
=
−8
3
3
∣ 3 + 8 − −27 ∣ ∣∣∣
3 − 12 =
7
∣3∣ = 7 3 .
Das zweite Teilintegral liefert
T 2 =
2 3 ( (−2)
3 ∣∣∣
∣ 3 − 4 · 2 − − 4(−2))∣
=
8
3
∣3 − 8 + 8 ∣ ∣∣∣
3 − 8 =
∣ −32 3 ∣ = 32 3 .
Bleibt noch das dritte Teilintegral
T 3 =
3 3 ( )∣ 2
3 ∣∣∣
∣ 3 − 4 · 3 − 3 − 4 · 2 =
27
∣ 3 − 12 − 8 ∣ ∣∣∣
3 + 8 =
7
∣3∣ = 7 3 .
Jetzt noch die Summe bilden, und wir erhalten für das Integral
∫ 3
2
−3
(x 2 − 4) dx = T 1 + T 2 + T 3 = 7 3 + 32 3 + 7 3 = 46 3 = 15 1 3 . ✷
Fläche zwischen zwei Kurven
§ 1899 Die Fläche zwischen zwei Kurven, wie z.B. der schwarz schraffierte Bereich in Abb. C.7,
lässt sich ebenfalls durch Integration bestimmen. Die Abbildung veranschaulicht die Idee: die
Flächen unterhalb der beiden Funktionsgraphen f(x) und g(x) werden jeweils separat bestimmt;
das entspricht der rot und der blau schraffierten Fläche. Die Fläche unter f(x) ist
größer als die gesuchte Fläche: im betrachteten Intervall gilt f(x) > g(x), d.h. ∫ f(x)dx liefert
einen zu großen Wert für die Fläche. Der Überschuss ist aber genau die Fläche unter dem
Graphen von g(x), d.h. die Differenz der beiden Flächen liefert die schraffierte Fläche:
A =
∫ b
a
{f(x) − g(x)} dx .
(C.5)
Die Fläche wird positiv für f(x) > g(x) wie in Abb. C.7, sie wird negativ für f(x) < g(x);
und wie zu erwarten verschwindet sie für f(x) = g(x).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007