Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.2. INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 171
y
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a c b
x
Abbildung 5.5: Mittelwertsatz
der Integration: im
Intervall [a, b] gibt es einen
Punkt c derart, dass die
schraffierte Fläche f(c) (b−a)
gleich dem Integral von f(x)
über das Intervall [a, b] ist
f(x) F (x) = ∫ f(x)dx f(x) F (x) = ∫ f(x)dx
a ax + c x n 1
mit n ≠ −1
n+1 xn+1 + c
e x e x + c e ax 1 a eax + c
1
x
ln |x| + c a x 1
ln a ax + c
sin x − cos x + c cos x sin x + c
sinhx coshx + c coshx sinhx + c
Tabelle 5.1:
Wichtige Integrale
5.2.2 Mittelwertsatz der Integration
§ 663 In Analogie zum Mittelwertsatz der Differentiation gibt es einen Mittelwertsatz der
Integration:
Satz 15 Ist f(x) eine stetige Funktion im Intervall [a, b], so gibt es einen Punkt c ∈ (a, b)
mit
∫ b
a
f(x) dx = (b − a) f(c) .
Anschaulich lässt sich der Mittelwertsatz über die Annäherung der Fläche unter dem Funktionsgraphen
durch Rechtecke interpretieren; im Gegensatz zu Unter- oder Obersumme wird
hier jedoch die Fläche korrekt wiedergegeben, vgl. Abb. 5.5.
5.2.3 Handwerkszeug
§ 664 Ähnlich dem Differenzieren benötigen Sie zum erfolgreichen Integrieren zwei Zutaten:
eine Tabelle der Grundintegrale sowie einen Satz von Integrationsregeln, mit dessen Hilfe
auch komplexere Integrale aus den Grundintegralen bestimmt werden können. Allerdings
gibt es einen wichtigen Unterschied zur Differentiations: während die meisten Funktionen
differenzierbar sind, gibt es für viele Funktionen keine analytische Lösung für das Integral.
Hier verbleibt zumindest bei bestimmten Integralen nur der Rückzug auf die numerische
Lösung (siehe Abschn. 5.5). Sollten Sie sich im Umgang mit den Grundintegralen und den
Integrationsregeln unsicher fühlen, so empfiehlt es sich, Abschn. C.3.2 durchzuarbeiten.
Grundintegrale
§ 665 Tabelle 5.1 listet wichtige unbestimmten Integrale auf. Die meisten dieser Integrale
sind die Umkehrung der Differentiation (Tabelle 4.1). Weitere Integrale finden Sie in Formelsammlungen,
z.B. [1, 7, 12, 21, 70] – oder sie qälen online den Integrator von Mathematica
unter http://integrals.wolfram.com/index.jsp. Wie bei der Differentiation lassen
sich viele Integrale durch Anwendung der Rechenregeln aus den Grundintegralen herleiten.
Integrale der Form √ a ± x 2 lassen sich auf diese Weise nicht lösen; sie führen auf trigonometrische
oder hyperbolische Funktionen – in Abschn. 3.4.2 haben wir dies bereits ausführlicher
betrachtet.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007