Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.4. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 139
4.4.3 Gradient
§ 546 Formal ist der Gradient ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungen
einer skalaren Funktion in Richtung der entsprechenden Koordinaten sind. Der Erstkontakt
mit dem Begriff des Gradienten in der Physik erfolgt meist im Zusammenhang mit dem
Gravitationsfeld in einer Bemerkung der Art: das Gravitationsfeld lässt sich als Gradient
eines skalaren Feldes, des Gravitationspotentials, darstellen. Die Analyse von Feldern wird
zwar erst im Rahmen der Vektoranalysis in Kap. 10 behandelt, da der Gradient jedoch
mathematisch einfach und anschaulich ist, wollen wir seine Behandlung hier als ein Beispiel
für die Anwendung der partiellen Differentiation vorziehen.
Felder
§ 547 Den Begriff des Feldes können wir am Beispiel des elektrischen Feldes einführen. Das
elektrische Feld ⃗ E gibt für jeden Punkt des Raumes die Kraft ⃗ F , die auf eine Probeladung
q wirken würde: ⃗ E = ⃗ F /q. Da die Kraft eine vektorielle Größe ist, wird jedem Punkt ⃗r
des Raumes ein Vektor ⃗ E(⃗r) zugeordnet – das elektrische Feld ist also ein Vektorfeld. Für
das Gravitationsfeld lässt sich diese Erläuterung fast wörtlich übernehmen – lediglich die
Probeladung muss durch eine Testmasse ersetzt werden und die Konstante ist eine andere.
§ 548 In anderen Feldern wird jedem Raumpunkt eine Eigenschaft wie Masse, Dichte, Konzentration,
Druck oder Temperatur zugeordnet. Diese Eigenschaften sind skalare Größen, das
Feld ist daher ein Skalarfeld: A(⃗r) = A(x, y, z).
§ 549 Damit sind Felder Funktionen der drei räumlichen Koordinaten sowie gegebenenfalls
zusätzlich der Zeit. Mathematisch ist ein Feld damit eine skalare oder vektorwertige Funktion
von vier Variablen.
Skalarfelder
Definition 45 Ein Skalarfeld ordnet den Punkten ⃗r eines Raumbereichs eindeutig einen
Skalar A = A(⃗r) zu.
§ 550 Flächen im Raum, auf denen das Feld konstant ist, A(⃗r) = const, heißen Niveauoder
Äquipotentialflächen. Im ebenen Feld wird durch A(x, y) = const eine Niveaulinie oder
Äquipotentiallinie definiert.
§ 551 Andere Eigenschaften eines Feldes können die Geschwindigkeit, die Kraft oder das
elektrische oder magnetische Feld sein. Bei diesen Eigenschaften handelt es sich um vektorielle
Größen, das entsprechende Feld ist ein Vektorfeld: ⃗ A(⃗r) = (A x (⃗r), A y (⃗r), A z (⃗r)).
Vektorfelder
Definition 46 Ein Vektorfeld ordnet den Punkten ⃗r eines Raumbereichs eindeutig einen
Vektor zu: ⃗ A = ⃗ A(⃗r) = ∑ A i (⃗r) ⃗e i .
§ 552 Ein Vektorfeld lässt sich durch Äquipotentiallinien und Feldlinien anschaulich darstellen.
Die Feldlinien werden in jedem Punkt durch den dortigen Feldvektor tangiert; sie
geben die lokale Richtung des Feldes, ihre Dichte ist der Feldstärke proportional. Feldlinien
gehorchen der Bedingung
⃗A × ˙⃗r = 0 oder ⃗ A × d⃗r = 0 .
Verbal bedeutet das Verschwinden des Kreuzprodukts, dass ⃗ A und d⃗r (bzw. ˙⃗r) parallel oder
antiparallel sind, d.h. das Wegstück ˙⃗r ist, wie bereits anschaulich angemerkt, parallel zum
lokalen Feldvektor ⃗ A.
§ 553 Da durch jeden Punkt P genau eine Feldlinie geht (Eindeutigkeit der Funktion A(⃗r)
bzw. ⃗ A(⃗r)), können sich Feldlinien nicht schneiden.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007