Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.6. DIFFUSION 431
Abbildung 11.11: Links: Zeitverlauf
der Teilchenzahldichte für verschiedene
Abstände des Beobachters von der
Quelle. Rechts: räumliche Verteilung
der Teilchenzahldichte zu verschiedenen
Zeiten
stochastischen Wechselwirkungen vergleichbarer Stärke. Mit einer großen Zahl von Bällen
erhalten wir am Ende eine Gauß Verteilung um den Mittelwert x 0 (vgl. Abschnitt 12.2.5)
P (x) = √ 1 exp
(− (x − x o) 2 )
2πσ 2σ 2 (11.39)
mit der Standardabweichung
σ 2 = 1 n
∑
(x − x0 ) 2 = 〈∆x〉 2 ,
die ein Maß für die Breite der Verteilung gibt und dem erwarteten Abstand entspricht. Damit
lässt sich die Standardabweichung σ mit dem Diffusionskoeffizienten in Beziehung setzen
σ = √ 〈∆x〉 2 = √ 2Dt = √ vλt .
Für die Verteilung (11.39) lässt sich damit auch schreiben
1
P (x, t) = √ exp
(− (x − x 0) 2 )
.
2πvλt 2vλt
Die Verteilung bleibt um den Startort x 0 zentriert, weitet sich aber im Laufe der Zeit auf.
Die Aufweitung hängt ab von der Beweglichkeit der Ameisen, beschrieben durch den Diffusionskoeffizienten,
vgl. rechtes Teilbild in Abb. 11.11.
§ 1605 Die hier verwendeten Ausdrücke lassen sich auf mehrere Dimensionen erweitern, die
mittlere Entfernung vom Startpunkt ist weiterhin durch (11.38) beschrieben.
11.6.3 Eindimensionale Diffusionsgleichung: δ-Injektion
§ 1606 Die eindimensionale Diffusionsgleichung
∂n
∂t = D ∂2 n
∂x 2 .
hat für eine δ-förmige Injektion am Ort x 0 die Lösung
n δ (x, t) = N 0
√ exp
(− (x − x 0) 2 )
. (11.40)
4πDt 4Dt
Zwischenrechnung 63 Verifizieren Sie, dass dieser Ausdruck die PDGL löst.
§ 1607 Manchmal interessiert nicht die oben beschriebene Aufweitung des δ-Peaks sondern
der Zeitverlauf der Dichte an einem Ort x im Abstand d = |x − x 0 | vom Injektionsort bzw.
Schwerpunkt der Verteilung. Dafür erhalten wir aus (11.40)
n δ (t) = N )
0
√ exp
(− d2
4πDt 4Dt
mit einem Maximum zur Zeit
t max = d2
2D
mit n max = N 0
d √ 2πe
und einem Abfall für große Zeiten proportional zu t −1/2 , vgl. linkes Teilbild in Abb. 11.11.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007