Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.4. KOMPLEXE ZAHLEN MATHEMATISCH 213
6.4.5 Funktionen mit komplexen Argumenten
§ 831 Die Betrachtung komplexwertiger Funktionen, d.h. die komplexe Analysis, liegt weit
außerhalb der Ziele dieses Skripts. Allerdings können wir uns mit unserem bisherigen Wissen
über die Analysis reeller Funktionen einige einfache Sachverhalte klar machen.
§ 832 Der Funktionsgraph einer Funktion f(z) einer komplexen Variablen z lässt sich nicht
in einem zweidimensionalen Koordinatensystem darstellen, da die graphische Darstellung der
unabhängigen Variablen z bereits ein zweidimensionales System benötigt. Da die Funktionswerte
einer komplexwertigen Funktion ebenfalls komplexe Zahlen sein können und damit
ein zweidimensionales System benötigen, ist eine graphische Darstellung nicht möglich. Allerdings
kann es an einigen Stellen sinnvoll sein zur Illustration den Betrag des komplexen
Funktionswertes gegen die komplexe Ebene aufzutragen. Gelegentlich kann es auch sinnvoll
sein, die unabhängige und abhängige Variable in jeweils einer eigenen komplexen Ebene darzustellen.
§ 833 Eine komplexe Funktion ordnet einer unabhängigen komplexen Variablen z = x + iy
durch eine Zuordnungsvorschrift eine oder mehrere komplexe Variablen w zu:
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) .
Darin sind u und v reelle Funktionen von x und y. Falls jedem z nur ein Wert w zugeordnet
werden kann, handelt es sich um eine ‘single valued function’; im anderen Fall um eine
‘multi valued function’. Im Gegensatz zur reellen Funktion verliert damit eine Funktion mit
komplexen Argumenten die Eindeutigkeit. Mathematische Tricks, die eine Reduktion auf eine
eindeutige Funktion ermöglichen, existieren; ihre Einführung geht jedoch weit über die Ziele
dieses Skripts hinaus.
§ 834 Wenn die Eindeutigkeit schon problematisch ist, wie sieht es dann mit den anderen
Grundbegriffen zur Beschreibung von Funktionen aus? Der Begriff der Monotonie ist sicherlich
nicht auf komplexwertige Funktionen übertragbar: Monotonie überprüft die Anordnung
von unabhängigen und abhängigen Variablen. Komplexe Zahlen lassen sich jedoch nicht ordnen.
§ 835 Anders sieht es mit dem Begriff des Grenzwerts aus. Hier lassen sich Def. 29 bzw.
30 anpassen: zwar sind Argument und Funktionswert nicht geordnet, jedoch lässt sich ein
Abstand zwischen den Argumenten und den Funktionswerten bilden. Statt einer linearen ε-
Umgebung entlang des Zahlenstrahls betrachten wir einen Kreis mit Radius ε; entsprechendes
auch für δ.
§ 836 Da der Begriff des Grenzwerts auf komplexwertige Funktionen übertragbar ist, ist
es der Begriff der Stetigkeit auch. Gemäß Def. 32 ist eine Funktion stetig in einem Punkt,
wenn (a) der Grenzwert in diesem Punkt existiert, (b) die Funktion in diesem Punkt definiert
ist und (c) Grenzwert und Funktionswert in diesem Punkt übereinstimmen. Punkt (a) ist
nach § 835 überprüfbar, die anderen beiden Punkte sind es ebenfalls. Daher kann auch der
Begriff der Stetigkeit in einem Punkt übertragen werden. Wie bei reellen Funktionen ist die
Stetigkeit der Funktion in einem Gebiet gegeben, wenn die Funktion in allen Punkten dieses
Gebiets stetig ist.
§ 837 Auch die Ableitung einer komplexwertigen Funktion lässt sich in direkter Analogie
zur Ableitung der reellen Funktion in Def. 41 und 42 angeben:
f ′ (z) = lim
z→z 0
f(z) − f(z 0 )
z − z 0
,
wobei die Existenz des Grenzwerts vorausgesetzt wird.
§ 838 In dieser Definition der Ableitung wird nochmals der Unterschied zwischen einer reellen
Funktion zweier Variablen und einer komplexwertigen Funktion deutlich: bei der reellen
Funktion würden wir zwei partielle Ableitungen bilden, die anschaulich die Steigungen des
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007