Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.1. MOTIVATION 307
Abbildung 8.1: Koordinatentransformationen
sind in
der Regel nicht kommutativ:
Spiegelung an der x 2 -Achse
und Drehung um den Winkel
α können nicht vertauscht
werden
§ 1134 Ein Vektor ⃗x eines Koordinatensystems K wird in einem anderen System K’ als ein
Vektor ⃗x ′ dargestellt. Im allgemeinsten Fall wird jede Komponente des neuen Vektors von allen
Komponenten des alten Vektors abhängen. Für ein zweidimensionales Koordinatensystem
können wir das als ein lineares Gleichungssystem schreiben:
x ′ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 und x ′ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 . (8.1)
Da wir ohnehin Vektoren betrachten, ist die Matrixschreibweise für ein lineare Gleichungssystem
passend:
⃗x ′ = A⃗x .
Die Eigenschaften der Transformation von K nach K’ stecken in den Eigenschaften der Matrix
A. Diese wird daher auch als Transformationsmatrix bezeichnet.
§ 1135 Vergleich der beiden Gleichungen in § 1134 liefert die Regeln für die Multiplikation
einer Matrix mit einem Vektor:
( ) ( ) ( ) ( )
x
′
1 a11 a
=
12 x1 a11 x
= 1 + a 12 x 2
.
a 22 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2
x ′ 2
a 21
§ 1136 Den nach K’ transformierten Vektor können wir nochmals transformieren. Dazu verwenden
wir die Matrix B mit ⃗x ′′ = B⃗x ′ . Für die nach einander Ausführung der beiden
Transformationen gilt
⃗x ′′ = B⃗x ′ = BA⃗x .
Dieser Ausdruck enthält ein Produkt BA zweier Matrizen, d.h. kombinierte Transformationen
führen auf multiplizierte Transformationsmatrizen.
§ 1137 Die Regeln für die Matrixmultiplikation können wir uns daraus einfach herleiten.
Auch BA ist eine Transformation, d.h. die Matrix wird die gleiche 2 × 2 Struktur haben wie
A und B. Aus den expliziten Transformationsgleichungen (8.1)
x ′′
1 = b 11 x ′ 1 + b 12 x ′ 2 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 1 2(a 21 x 1 + a 22 x 2 )
= (b 11 a 11 + b 12 a 21 )x 1 + (b 11 a 12 + b 12 a 22 )x 2
x ′′
2 = b 21 x ′ 1 + b 22 x ′ 2 = b 21 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 22 (a 21 x 1 + a 22 x 2 )
= (b 21 a 11 + b 22 a 21 )x + (b 21 a 12 + b 22 a 22 )x 2
lassen sich die Elemente dieser Matrix bestimmen:
( ) ( ) ( )
b11 b 12 a11 a 12 b11 a
= 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22
.
b 21 b 22 a 21 a 22 b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22
§ 1138 Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. AB ≠ BA. Formal reicht ein Gegenbeispiel
zur Annahme, das die Matrixmulitplikation kommutativ sei:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 0
=
≠
= .
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Anschaulich ist ebenfalls einsichtig, das die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Dazu
betrachten wir in Abb. 8.1 zwei Transformationen: spiegeln wir den Vektor ⃗r erst an der
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007