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Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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36 KAPITEL 1. VEKTOREN<br />

§ 170 Der Abstand ⃗x − ⃗y zwischen zwei Vektoren ist ebenfalls über das Skalarprodukt definiert.<br />

Von diesem wissen wir, dass es eine positive reelle Größe sein muss, d.h. (⃗x−⃗y)·(⃗x−⃗y) ≥<br />

0. Umformung liefert<br />

(⃗x − ⃗y) · (⃗x − ⃗y) =<br />

(<br />

|⃗y| −<br />

) 2<br />

⃗x · ⃗y (⃗x · ⃗y)2<br />

− + ⃗x · ⃗x ≥ 0 .<br />

|⃗y| ⃗y · ⃗y<br />

Da alle quadrierten Terme größer Null sind, ergibt sich daraus<br />

−|⃗x| |⃗y| ≤ ⃗x · ⃗y ≤ |⃗x| |⃗y| .<br />

Die Gleichheitszeichen gelten, wenn ⃗x parallel oder antiparallel zu ⃗y. Da der Kosinus die<br />

Werte zwischen -1 und +1 annimmt, lässt sich daraus ziemlich direkt die bereits bekannte<br />

Definition des Skalarprodukts (1.3) einführen:<br />

⃗x · ⃗y = x 1 y 1 + . . . + x n y n = |⃗x| |⃗y| cos α .<br />

Diese Einführung des Skalarprodukts ist, auch wenn vieles an die Darstellung in Abschn. 1.4.1<br />

erinnert, an keiner Stelle auf den R 3 beschränkt sondern gilt allgemein im R n . Das ist nicht<br />

überraschend, da zwei Vektoren immer eine Ebene aufspannen und die Längen und Abstände<br />

nur in dieser Ebene gemessen werden – die Zahl der Dimensionen drum herum ist irrelevant.<br />

Daher lassen sich auch die Ausdrücke in Abschn. 1.4.1, die explizit den R 3 betrachten, problemlos<br />

auf den R n erweitern.<br />

Zwischenrechnung 2 Machen Sie sich die Umformungen des Ausdrucks (⃗x−⃗y)·(⃗x−⃗y) ≥ 0<br />

klar; achten Sie dabei insbesondere auf die konsistente Verwendung der Beträge. Ist die<br />

Division durch einen Vektor überhaupt ok?<br />

§ 171 Die bisher betrachtete Definition des Skalarprodukts wird als Euklidisches Skalarprodukt<br />

bezeichnet, da es Längen und Abstände im Euklidischen Raum definiert. Ein Vektorraum,<br />

in dem ein Euklidisches Skalarprodukt definiert ist, wird als Euklidischer Raum<br />

bezeichnet.<br />

Allgemeine Definition<br />

§ 172 Die allgemeine Definition folgt der Grundidee für das Skalarprodukt im Euklidischen<br />

Raum: das Skalarprodukt beliebiger Vektoren wird reduziert auf das Skalarprodukt der Vektoren<br />

einer Standardbasis.<br />

§ 173 Betrachten wir nochmals die Grundeigenschaften der Abstandsmessung. Ein wie auch<br />

immer definiertes Produkt ‘·’ zwischen zwei Vektoren eines Vektorraums wird als Skalarprodukt<br />

bezeichnet, wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt:<br />

1. das Produkt eines Vektors mit sich selbst ist eine positive skalare Größe: ⃗x · ⃗x ≥ 0. Das<br />

ist für die Normierung sinnvoll, da eine Länge positiv sein sollte.<br />

2. das Produkt eines Vektors mit sich selbst verschwindet dann und nur dann, wenn der<br />

Vektor der Nullvektor ist: ⃗x · ⃗x = 0 ⇔ ⃗x = 0.<br />

3. das Skalarprodukt ist kommutativ: ⃗x · ⃗y = ⃗y · ⃗x.<br />

4. es gilt das Distributivgesetz und die Multiplikation mit einem Skalar ist assoziativ, d.h.<br />

es ist (⃗x + ⃗y) · (λ⃗z) = λ(⃗x · ⃗z + ⃗y · ⃗z).<br />

§ 174 Auf Grund dieser Eigenschaft kann das Skalarprodukt zur Definition der folgenden<br />

Größen/Begriffe verwendet werden:<br />

• der Betrag eines Vektors ist definiert als |⃗x| = √ ⃗x · ⃗x. Dies ist eine Verallgemeinerung des<br />

Begriffs der Länge. Der Abstand zwischen zwei Vektoren ⃗x und ⃗y ist durch |⃗x−⃗y| gegeben.<br />

• zwei Vektoren ⃗x und ⃗y sind orthogonal wenn ⃗x · ⃗y = 0. Dies ist eine Verallgemeinerung des<br />

Begriffs des rechten Winkels.<br />

• ein Skalarprodukt ist kein notwendiger Bestandteil eines Vektorraums, siehe Def. 10. Daher<br />

lässt sich ein Skalarproduktraum definieren als ein Vektorraum in dem ein Skalarprodukt<br />

existiert.<br />

Der Euklidische Raum erfüllt alle diese Bedingungen.<br />

13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode

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