Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

470 KAPITEL 12. STATISTIK
von (12.31) weniger stark gewichtet werden sollen. Dazu berücksichtigen wir in (12.31) den
Fehler σ i in y i gemäß
N∑
( ) 2
χ 2 yi − f i !
=
= Minimum ,
σ i
i=1
d.h. wir wichten die Abweichung des Messwerts von der Zielfunktion mit seinem Fehler. Die
x i -Werte werden als korrekt vorausgesetzt.
§ 1764 Für die lineare Regression, d.h. eine Ausgleichsgrade f(x) = ax+b, ist dann gefordert
χ 2 =
N∑
i=1
(
yi − ax i − b
σ i
) 2
!
= 0 .
Die Bedingungen für ein Minimum sind
∂χ 2
∂b
∂χ 2
∂a
= −2
= −2
N∑
i=1
N∑
i=1
Mit den Abkürzungen
S =
S xx =
N∑
1
σ 2 i=1 i
N∑
, S x =
x 2 i
σ 2 i=1 i
y i − ax i − b
σ 2 i
x i (y i − ax i − b)
σ 2 i
N∑
, S xy =
x i
σ 2 i=1 i
N∑
i=1
!
= 0 und
, S y =
x i y i
σ 2 i
!
= 0 .
N∑
y i
σ 2 i=1 i
können wir diese Gleichungen in die Form bS + aS x = S y und bS x + aS xx = S xy umschreiben
und erhalten für die Fit-Parameter
a = SS xy − S x S y
SS xx − (S x ) 2 und b = S xxS y − S x S xy
SS xx − (S x ) 2 .
§ 1765 Gemäß Fehlerfortpflanzungsgesetz (12.28) müssen wir die Ausdrücke
∂b S xx − S x x i
=
∂y i σi 2(SS xx − (S x ) 2 )
und
,
∂a Sx i − S x
=
∂y i σi 2(SS xx − (S x ) 2 )
aufsummieren und erhalten für die Varianzen von a und b
σ 2 a =
S
SS xx − (S x ) 2 und σb 2 S xx
=
SS xx − (S x ) 2 .
Die Kovarianz ist gegeben als
Cov(a, b) =
−S x
SS xx − (S x ) 2 .
§ 1766 Der Korrelationskoeffizient setzt die Unsicherheiten in a und b zueinander in Beziehung
und ist
r ab =
−S x
√
SSxx
.
Der Korrelationskoeffizient nimmt immer einen Wert zwischen -1 und +1 an, wobei ein positiver
Wert andeutet, dass die Fehler in a und b gleiches Vorzeichen haben, ein negativer Wert
dagegen dass sie antikorreliert sind.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode