Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

112 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Abbildung 3.20: Konstruktion einer
Funktion f(x, y) =!x 2 + y zweier unabhängiger
Variablen (links unten)
aus ihren Schnitten für y =0 (entsprechend
f(x, 0) = x 2 , links oben) und
x=0 (entsprechend f(0, y)=y, rechts
oben) sowie Darstellung durch Isolinien,
entsprechend den Höhenlinien auf
einer topographischen Karte
konstantes x ergibt sich die lineare Funktion f(c, y) = c+y in der yz-Ebene; für x = 0 ist das
die Funktion f(0, y) = y wie im rechten oberen Teilbild. Kombination dieser beiden Schnitte
liefert das ansteigende Tal links unten. Der rechte untere Teil der Abbildung zeigt Isolinien,
entsprechend den Höhenlinien auf einer topographischen Karte.
§ 449 Auch wenn wir Funktionen im R n für n > 2 nicht mehr darstellen könne, bleibt diese
Möglichkeit natürlich trotzdem bestehen: wir können stets Schnitte der Funktion entlang
einer Koordinatenachse betrachten, um uns die wesentlichen Abhängigkeiten entlang dieser
Variablen zu veranschaulichen.
3.6.2 Grundbegriffe
§ 450 Zur Beschreibung von Funktionen im R, d.h. Funktionen der Form f(x), sind die
wichtigsten Begriffe Monotonie, Beschränkheit, Grenzwerte und Stetigkeit. In diesem Abschnitt
werden wir eine eher hemdsärmelige Übertragung der Begriffe auf Funktionen im R n
vornehmen, d.h. Funktionen der Form f(x 1 , x 2 , . . . , x n ).
Beschränktheit
§ 451 Für den Begriff der Beschränkheit ist die Übertragung am einfachsten, da für ihn
gemäß Def. 25 nur ein Vergleich der Funktionswerte mit einer Schranke für alle unabhängigen
Variablen erforderlich ist, die Anordnung der unabhängigen Variablen aber keine Rolle spielt.
Daher können wir Def. 25 direkt übernehmen (wieder exemplarisch für eine Funktion von
zwei Variablen):
Definition 36 Eine Funktion z = f(x, y) mit x, y, z ∈ R ist
– nach oben beschränkt, wenn es ein A ∈ R gibt, so dass f(x, y) ≤ A ∀x, y ∈ R,
– nach unten beschränkt, wenn es ein A ∈ R gibt, so dass f(x, y) ≥ A ∀x, y ∈ R.
Anschaulich heißt nach oben beschränkt, dass es eine ‘Deckelebene’ mit z = A gibt, die
von keinem Funktionswert nach oben überragt wird. Während eine nach oben und unten
beschränkte Funktion f(x) im Funktionsgraphen zwischen zwei horizontalen Linien liegt,
ist eine nach oben und unten beschränkte Funktion f(x, y) durch zwei horizontale Ebenen
eingegrenzt.
§ 452 Die Erweiterung auf n unabhängige Variable erfordert nur wenige Anpassungen: z =
f(x, y) → z = f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) definiert die Funktion und die Zahl der unabhängigen Variablen;
x, y, z ∈ R → x i , z ∈ R erklärt, dass alle abhängigen und unabhängigen Variablen aus R
kommen, und als letztes muss angepasst werden f(x, y) ≤ A ∀x, y ∈ R → f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ≤
A ∀x i ∈ R.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode