Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.4. POTENZREIHEN ENTWICKLUNG 65
Die Taylor Entwicklung wird entsprechend der einer Funktion einer Variablen gebildet, lediglich
die totalen Ableitungen sind durch partielle zu ersetzen (vgl. Abschn. 4.4.1) und die
gemischten Ableitungen sind zu berücksichtigen. Für die Entwicklung der Funktion f(x, y)
and der Stelle x = a und y = b gilt dann
f(x, y) = f(a, b) + 1 [
(x − a) ∂
1! ∂x + (y − b) ∂ ] 1
f(x, y)| x=a,y=b
∂y
+ 1 [
(x − a) ∂
2! ∂x + (y − b) ∂ ] 2
f(x, y)| x=a,y=b
∂y
+ 1 [
(x − a) ∂
3! ∂x + (y − b) ∂ ] 3
f(x, y)| x=a,y=b . . .
∂y
+ 1 [
(x − a) ∂
n! ∂x + (y − b) ∂ ] n
f(x, y)| x=a,y=b . . .
∂y
mit der Abkürzung
1
k!
[
(x − a) ∂
∂x + (y − b) ∂ ∂y
] k
f(x, y) = 1 k!
k∑
i=0
(
k
i
)
(x − a) k−i (y − b) i ∂k f(x, y)
∂x k−i ∂y i
oder explizit für den Fall k = 2:
[
1
(x − a) ∂
2! ∂x + (y − b) ∂ ] 2
f(x, y)
∂y
= 1 [
]
(x − a) 2 ∂2 f(x, y)
2!
∂x 2 + 2(x − a)(y − b) ∂2 f(x, y)
+ (y − b) 2 ∂2 f(x, y)
∂x∂y
∂y 2 .
2.4.3 MacLaurin Reihe
§ 265 Die MacLaurin Reihe ist ein Spezialfall der Taylor Reihe (2.5) für a = 0, d.h. bei der
MacLaurin Reihe betrachten wir die Funktion für kleine Werte von x. Aus (2.5) erhalten wir
f(x) = f(0) + x 1! f ′ (0) + x2
2! f ′′ (0) + ... + xn
n! f (n) (0) + R n (2.7)
Die MacLaurin Reihe lässt sich aus einer Potenzreihe mit x 0 = 0 herleiten. Dazu gehen
wir von der Annahme aus, dass die Funktion durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Durch
Ableiten lassen sich die Koeffizienten a i bestimmen:
f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 . . . ⇒ f(0) = a 0 ⇒ a 0 = f(0)/0!
f ′ (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 . . . ⇒ f ′ (0) = a 1 ⇒ a 1 = f ′ (0)/1!
f ′′ (x) = 2a 2 + 6a 3 x + 12a 4 x 2 . . . ⇒ f ′′ (0) = 2a 2 ⇒ a 2 = f ′′ (0)/2!
Damit ergibt sich die MacLaurin Reihe zu
f(x) = f(0) + f ′ (0)
1!
Exponentialreihe
x + f ′′ (0)
x 2 + ... + f n
2!
n! xn (0) + ... .
§ 266 Mit der Exponentialreihe erhalten wir eine Annäherung an die Exponentialfunktion.
Die Reihenentwicklung ist in diesem Fall besonders einfach, da die Exponentialfunktion abgeleitet
stets wieder die Exponentialfunktion ergibt. Damit ergibt sich für die ersten Glieder
der MacLaurin Reihe der Exponentialfunktion
f(x) = e x ⇒ f(0) = 1
f ′ (x) = e x ⇒ f ′ (0) = 1
f ′′ (x) = e x ⇒ f ′′ (0) = 1 .
Einsetzen in die Reihenentwicklung liefert
e x = 1 + 1 1! x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + .... + 1 n! xn + ... . (2.8)
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007