Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

14 KAPITEL 1. VEKTOREN
1.4.1 Skalarprodukt (inneres Produkt)
§ 86 Betrachten wir zwei Ortsvektoren ⃗r 1 und ⃗r 2 , wie z.B. in Abb. 1.1. Der Differenzvektor
⃗V = ⃗r 2 − ⃗r 1 hat die Länge (oder genauer deren Quadrat)
V 2 = |⃗r 2 − ⃗r 1 | 2 = (⃗r 2 − ⃗r 1 ) · (⃗r 2 − ⃗r 1 ) = ⃗r 2 2 + ⃗r 2 1 − 2 ⃗r 2 · ⃗r 1 = r 2 1 + r 2 2 − 2 ⃗r 2 · ⃗r 1 .
V 2 lässt sich mit Hilfe des Kosinussatz auch als eine Dreiecksseite ausdrücken:
V 2 = r 2 1 + r 2 2 − 2r 1 r 2 cos α
mit α als dem von ⃗r 1 und ⃗r 2 eingeschlossenen Winkel. Vergleich beider Gleichungen liefert
⃗r 2 · ⃗r 1 = r 1 r 2 cos α .
Das Produkt ⃗r 2 · ⃗r 1 wird als Skalarprodukt bezeichnet, formal definiert als
Definition 7 Das innere Produkt (Skalarprodukt) zweier Vektoren ⃗a und ⃗ b ist die Zahl
(Skalar)
c = ⃗a ·⃗b = |⃗a| | ⃗ b| cos α = ab cos α . (1.3)
Darin sind a und b die Beträge der Vektoren ⃗a und ⃗ b; α ist der von ihnen eingeschlossene
Winkel.
§ 87 Gemäß dieser Definition hat das Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften:
• Das Skalarprodukt ist ein Skalar.
• Sein Betrag hängt ab von den Beträgen der beiden Vektoren.
• Sein Betrag hängt ab vom Winkel zwischen den beiden Vektoren.
§ 88 Aus (1.3) wird deutlich, dass sich das Skalarprodukt zur Bestimmung des Betrages eines
Vektors und damit zur Normierung verwenden lässt. Dazu wird der Vektor mit sich selbst
multipliziert: ⃗a · ⃗a = aa cos 0 = a 2 und damit
a = |⃗a| = √ ⃗a · ⃗a .
§ 89 Das Skalarprodukt zweier Vektoren ⃗a und ⃗ b lässt sich aus der Darstellung der Vektoren
mit Hilfe von Einheitsvektoren herleiten. Für kartesische Koordinaten gilt
⃗a ·⃗b = (a x ⃗e x + a y ⃗e y + a z ⃗e z ) (b x ⃗e x + b y ⃗e y + b z ⃗e z )
= a x b x (⃗e x ) 2 + a x b y ⃗e x · ⃗e y + a x b z ⃗e x · ⃗e z + a y b x ⃗e y · ⃗e x + a y b y (⃗e y ) 2
+a y b z ⃗e y · ⃗e z + a z b x ⃗e z · ⃗e x + a z b y ⃗e z · ⃗e y + a z b z (⃗e z ) 2 . (1.4)
Dieser Ausdruck enthält Produkte aus Einheitsvektoren. Gemäß der Definition des Skalarprodukts
in (1.3) verschwindet das Skalarprodukt, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander
stehen, da dann der eingeschlossene Winkel π 2
beträgt und cos π 2
= 0. Damit verschwinden
in einem orthogonalen Koordinatensystem Produkte der Form ⃗e i · ⃗e j mit i ≠ j. Für i = j
sind die Vektoren dagegen parallel und ihr Skalarprodukt entspricht gemäß (1.3) dem Produkt
ihrer Beträge; in einem Orthonormalsystem wie dem kartesischen Koordinatensystem
ist ⃗e i ·⃗e i = 1. DieseBeziehung zwischen den Einheitsvektoren können wir in kompakter Form
darstellen:
{
0 falls i ≠ j
⃗e i · ⃗e j =
.
1 falls i = j
Eine noch kompaktere Schreibweise ergibt sich bei Verwendung des Kronecker-Symbol δ ij :
{
0 falls i ≠ j
δ ij =
.
1 falls i = j
Damit gilt für das Produkt von orthonormalen Einheitsvektoren
⃗e i · ⃗e j = δ ij .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode