Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.3. ELEMENTARES INTEGRIEREN 543
Aufgabe 332 ** Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve f(x) = x 2 − x und den
Ordinaten bei x 1 = 0 und x 2 = 1.
Aufgabe 333 ** Berechnen Sie das bestimmte Integral der Funktion f = 1/r 2
Grenzen 1 und ∞.
in den
Aufgabe 334 ** Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den folgenden Kurven begrenzt
wird: y = 0, y = (2 + 3x) −1 , x = 2 und x = 10.
Aufgabe 335 ** Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den folgenden Kurven begrenzt
wird: y = 0, y = 1/x, x = −2 und x = −1. Fertigen Sie eine Skizze für den Bereich
−4 < x < 4 an.
Aufgabe 336 ** Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers von x = 0 bis x = 10,
wenn die Gerade f(x) = x/2 um die x-Achse gedreht wird. Wie groß ist allgemein das
Volumen, dass durch die Rotation einer Funktion f(x) = x n um die x-Achse entsteht?
Aufgabe 337 ** Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und der Kurve
f(x) = 2(x + 1)(x − 1)(x − 3) in den Grenzen x 1 = −1 und x 2 = 3. Überprüfen Sie, ob
zwischen den Grenzen Nullstellen liegen.
Aufgabe 338 ** Es ist das Volumen des Rotationskörpers gesucht, der entsteht, wenn die
Funktion f(x) = x 2 + 1 um die x-Achse rotiert in den Grenzen x 1 = −2 und x 2 = 2.
Aufgabe 339 ** Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve von f(x) = x − x 2 , der
x-Achse sowie den Schnittpunkten der Funktion mit der x-Achse.
Aufgabe 340 *** Der Graph der Funktion f(x) = x/t 2 −x 3 mit t ≠ 0 ist für positive x und
f(x) zu betrachten (1. Quadrant des Koordinatensystems). (a) Skizzieren Sie den Graphen
für t = 1. (b) Wie groß ist der Inhalt der Fläche für allgemeines t? (b) Für welches t wird
der Flächeninhalt 10?
Aufgabe 341 ** Die Niederschlagsmenge m pro Fläche und Zeit ist beschrieben durch die
Funktion m(t) = m o (1 + 1 2
sin(2πt)). Welchen Gesamtniederschlag erhält man im Intervall
[0;10]?
Aufgabe 342 ** Integrieren Sie durch Substitution:
∫
xe x2 dx ,
∫
∫
x 2
2
√ dx , 3 − x
3
x √ 4 − x 2 dx ,
∫ 2
x √ x 2 − 1 dx .
0
1
Aufgabe 343 ** Bestimmen Sie durch partielle Integration:
∫
∫ 1
x sin x dx und t · 3 cos t dt .
2
Aufgabe 344 ** Gegeben sei die Funktion f(x) = √ x 2 + 2. Berechnen Sie das Volumen
des Körpers, der bei der Rotation um die x-Achse zwischen x 1 = −2 und x = 2 entsteht.
Aufgabe 345 ** Das Kugelvolumen ist zu berechnen, in dem man einen Kreis um seinen
Durchmesser rotieren lässt.
Aufgabe 346 ** Die Hyperbel xy = 1 schließt mit der x-Achse und den Geraden x = 1
und x = 10 ein Flächenstück ein. Das soll durch zwei Geraden x = a und x = b in drei
flächengleiche Stücke geteilt werden. Wie groß ist der Gesamtinhalt? Wie groß sind a und b?
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007