Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

158 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.15: Funktion y = sin(x)
(schwarz) und analytisch bestimmte
Ableitungen y ′ = cos(x) (rote Kurve)
bzw. y ′′ = − sin(x) (grüne Kurve) sowie
zugehörige numerisch bestimmte
Ableitungen (Symbole)
der die Differenzen benachbarter Werte enthält:
>> x=[1 2 4 7 11 16 22 29 37]; ←↪
>> dx=diff(x) ←↪
dx =
1 2 3 4 5 6 7 8
§ 625 Die Ableitung der Funktion y = sin(x) ist y ′ = cos(x), die zweite Ableitung ist
y ′′ = − sin(x). Mit dem folgenden MatLab-Fragment kann diese Ableitung numerisch im
Intervall ug bis og bestimmt und mit der analytischen Lösung verglichen werden. Da der
Vektor, der die Werte der Ableitung enthält, um ein Element kürzer ist als der Vektor der
Funktionswerte, müssen für die graphische Darstellung drei x-Achsen definiert werden: x für
die Funktion, xv für die Ableitung und xvv für die zweite Ableitung.
ug=0; og=10; deltx=0.1;
x=[ug:deltx:og]; xv=[ug+deltx/2:deltx:og-deltx/2]; xvv=[ug+deltx:deltx:og-deltx];
dx=diff(x);dy=diff(sin(x));abl1=dy./dx;
d2x=diff(xv);d2y=diff(abl1);abl2=d2y./d2x;
plot(x,sin(x),’k’);hold on;plot(xv,cos(xv),’r’);plot(xvv,-sin(xvv),’g’);
plot(xv,abl1,’vr’);plot(xvv,abl2,’og’);
xlabel(’x’,’Fontsize’,16); ylabel(’y’,’Fontsize’,16);
title(’sin(x) und seine Ableitungen (Symbole)’,’Fontsize’,20);
text(2.2,0.8,’ \leftarrow sin(x)’); text(3*pi/2,0,’ \leftarrow cos(x)’);
text(5.9,-0.8,’-sin(x) \rightarrow’); hold off
§ 626 Abbildung 4.15 zeigt die Funktion (schwarz) mit ihren beiden analytisch bestimmten
Ableitungen (rote bzw. grüne Kurve) sowie die numerisch mit Hilfe der obigen Befehlssequenz
bestimmten Ableitungen (Symbole). Trotz des relativ groben Gitters (anschaulich durch den
Abstand benachbarter Symbole), stimmt selbst die zweite numerische Ableitung sehr gut mit
den analytischen Werten überein.
§ 627 Das von uns in MATLAB verwendete Verfahren ähnelt dem einer zentralen Differenz,
wobei allerdings die Ableitung nur an jedem zweiten Gitterpunkt bestimmt wurde. In der
echten zentralen Differenz würden wir Funtkionswerte auch an den Gitterpunkten benötigen,
in denen wir jetzt die Steigung angeben, und würden auch Steigungen in den Gitterpunkten
erhalten, für die wir die Funktionswerte angegeben haben.
§ 628 Für die meisten Funktionen ist numerische Differentiation weniger interessant – sie
können zwar die Ableitungen plotten, erhalten aber keinen geschlossenen Ausdruck. Anders
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode