Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

184 KAPITEL 5. INTEGRATION
verrichtet. Das ist ok: da die potentielle Energie im Gravitationsfeld nur vom Abstand r vom
Zentrum abhängt, hat sich die potentielle Energie des Körpers nicht geändert und bei seiner
Verschiebung wurde keine Arbeit verrichtet. Ein entsprechendes Resultat erhalten wir auch,
wenn wir den Körper von ⃗r 1 = (2, 0, 0) nach ⃗r 1 = (0, 2, 0) verschieben. Bei einer Verschiebung
von ⃗r 1 = (2, 2, 2) nach ⃗r 2 = (4, 4, 4) dagegen verschwinden die rechteckigen Klammern
bei Einsetzen der Integrationsgrenzen nicht sondern liefern jeweils einen Ausdruck der Form
1/ √ 48 − 1/ √ 12 < 0, d.h. beim Verschieben des Körpers wurde an diesem Arbeit gegen das
Gravitationsfeld verrichtet. Schieben wir den Körper von ⃗r 2 = (4, 4, 4) nach ⃗r 1 = (2, 2, 2)
zurück, so vertauschen sich die Integrationsgrenzen. Damit ändert sich das Vorzeichen, nicht
aber der Betrag des Integrals: die Hubarbeit, die wir am Körper zur Erhöhung seiner potentiellen
Energie verrichtet haben, wird wieder frei, wie für ein konservatives Kraftfeld erwartet.
Vorzeichen checken!
§ 716 Im konservativen Kraftfeld muss die beim Verschieben von ⃗r 1 nach ⃗r 2 geleistete Arbeit
nicht nur beim umgekehrten Weg wieder frei werden sondern die beim Verschieben von ⃗r 1
nach ⃗r 2 geleistete Arbeit muss unabhängig vom dabei eingeschlagenen Weg sein. Diesen
haben wir in unserer bisherigen Betrachtung noch garnicht explizit berücksichtigt. Der Weg
steckt in d⃗r = (dx, dy, dz). Bisher haben wir eine Gerade angenommen mit dx = dy = dz.
Betrachten wir dazu ein Kraftfeld F ⃗ /⃗r) = (yz, xz, xy). In diesem Kraftfeld wird eine Masse
von ⃗r 1 = (0, 0, 0) m nach ⃗r 2 = (1, 1, 1) m verschoben. Betrachten wir die Arbeit, die dabei
entlang einer Geraden ⃗r = (t, t, t) und längs einer Parabel ⃗r = (t, t 2 , t 4 ) zu verrichten ist. In
beiden Darstellungen ist t ein Parameter, z.B. die Zeit: damit geben wir den Ort derart an,
dass zu einer festen Zeit t 0 jeweils die drei Komponenten des Ortes bestimmt sind. Innerhalb
eines Zeitschritts wird dann ein Wegstückchen d⃗r = ˙⃗r dt zurück gelegt. Für die gerade erhalten
wir d⃗r = ˙⃗r dt = (1, 1, 1) , dt und damit für die Arbeit
W =
=
∫ r 2
∫t 2
F ⃗ d⃗r = F ⃗ · ˙⃗r dt
r 1 t
⎛ ⎞ 1
⎛
∫ 1
⎝ t2
t 2 ⎠ · ⎝ 1 ⎞
1 ⎠ dt =
t 2 1
0
∫ 1
0
3t 2 dt = 1 Nm .
Für die Arbeit entlang der Parabel ergibt sich wegen d⃗r = ˙⃗r = (1, 2t, 4t 3 )
⎛ ⎞ ⎛
∫ r 2 ∫1
W = F ⃗ d⃗r = ⎝ t6
t 5 ⎠ · ⎝ 1 ⎞
∫ 1
2t ⎠ dt = 7t 6 dt = 1 Nm ,
r 1
t 3 4t 3
0
d.h. die Arbeit entlang zweier unterschiedlicher Wege ist die gleiche. Das Kraftfeld könnte also
ein konservatives Feld sein. Auf die Möglichkeit, dieses zu zeigen, werden wir in Abschn. 10.3.2
zurück kommen.
§ 717 Die Darstellung des Weges in Abhängigkeit von einem Parameter werden wir als Spezialfall
der Parametrisierung von Kurven und Flächen in Abschn. 10.3.1 genauer kennen
lernen. Der Vorteil dieser Darstellung wird jedoch schon in obigem Beispiel deutlich: die Parametrisierung
erlaubt es, den Vektor ⃗ dr der Differentiale in ein Produkt aus einem Vektor
und einem skalaren Differential dt zu überführen. Dadurch wird das Linienintegral auf ein
konventionelles Integral einer skalaren Funktion reduziert – eine wesentlich elegantere (und
mathematisch korrektere) Variante als die in § 712 zusammen gestoppelte.
0
5.5 Numerische Integration in MatLab
§ 718 Die Integration von Funktionen erfolgt in MatLab ebenso wie die Differentiation
numerisch. MatLab verfügt über fest eingebaute Funktionen, wir können MatLab jedoch
auch verwenden, um verschiedene einfachere Verfahren wie Mittelpunkts- oder Trapezformel
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode