Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

86 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
§ 340 Ist eine Funktion gerade oder ungerade, so braucht zur Beschreibung ihrer Eigenschaften
nur der Bereich x ≥ 0 (oder falls es angenehmer ist der Bereich x ≤ 0) untersucht zu
werden. In der jeweils anderen Hälfte des Definitionsbereichs verhält sich die Funktion auf
die gleiche Weise (gerade Funktion) oder auf gleiche Weise aber mit umgekehrtem Vorzeichen
(ungerade Funktion).
Monotonie
§ 341 In Analogie zum Begriff der Monotonie einer Folge in Def. 16 lässt sich für eine Funktionen
die folgenden Definition geben:
Definition 28 Seien x 1 und x 2 zwei beliebige Werte aus D mit x 1 < x 2 . Dann heißt die
Funktion f(x):
monoton wachsend, falls f(x 1 ) ≤ f(x 2 )
streng monoton wachsend, falls f(x 1 ) < f(x 2 )
monoton fallend, falls f(x 1 ) ≥ f(x 2 )
streng monoton fallend, falls f(x 1 ) > f(x 2 )
§ 342 Die Anwendung des Begriffs entspricht der bereits von den Folgen bekannten. An
Hand der Monotonie kann entschieden werden, ob eine Funktion umkehrbar ist oder nicht:
jede streng monotone Funktion ist umkehrbar. Bei einer monotonen aber nicht streng monotonen
Funktion gilt diese Aussage nicht mehr, da in dem Fall ein Funktionswert durch
mindestens zwei verschiedene Argumente erzeugt wurde, so dass die Umkehrung nicht, wie
für eine Funktion gefordert, zu einer eindeutigen Abbildung führt. Analytisch lässt sich die
Umkehrfunktion aus der Funktionsgleichung durch Auflösen nach der unabhängigen Variablen
bestimmen; die graphische Bestimmung der Umkehrfunktion erfolgt durch Spiegelung
an der Winkelhalbierenden y = x.
Grenzwert
§ 343 Auch für Funktionen gilt die bereits bei den Folgen gemachte Aussage: eine streng
monoton fallende, nach unten beschränkte Funktion konvergiert für x → ∞ gegen einen
endlichen Grenzwert. Umgekehrt konvergiert eine streng monoton steigende, nach oben beschränkte
Funktion für x → ∞ gegen einen endlichen Grenzwert. Dies entspricht der Konvergenz
einer Folge.
§ 344 Grenzwerte werden bei Funktionen jedoch nicht nur im Hinblick auf x → ∞ oder
x → −∞ betrachtet. Eine Funktion unterscheidet sich von einer Folge dadurch, dass zwischen
zwei benachbarten natürlichen Zahlen des Definitionsbereichs unendlich viele reelle Zahlen
liegen. Ja selbst zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen liegen unendlich viele weitere reelle
Zahlen. Daher wird das Verhalten einer Funktion bei Annäherung an ein endliches Argument
x = a durch unendlich viele andere Argumente bestimmt. Dies führt zur folgenden Definition
des Grenzwerts:
Definition 29 Die Funktion y = f(x) besitzt an der Stelle x = a den Grenzwert
lim f(x) = g oder f(x) → g ∀x → a
x→a
wenn sich die Funktion f(x) bei unbegrenzter Annäherung von x an a unbegrenzt an g nähert.
f(x) muss an der Stelle a den Wert g nicht zwingend annehmen; f(x) muss an der Stelle
x = a nicht zwingend definiert sein.
§ 345 Bereits bei den Folgen haben wir gesehen, dass ein Grenzwert zwar angestrebt wird,
dieser aber nicht selbst ein Glied der Folge sein muss. Bei einer Funktion gilt, wie auch
aus der Definition deutlich wird, entsprechendes: die Funktion f(x) kann für x = a einen
Grenzwert haben ohne ihn an dieser Stelle anzunehmen oder gar an dieser Stelle definiert zu
sein. Eine derartige Stelle kann eine Sprungstelle sein, wie in Abb. 3.4 angedeutet, oder eine
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode