Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.4. FEHLERRECHNUNG (DESKRIPTIVE STATISTIK) 463
§ 1733 An einem radioaktives Präparat wurden in einem Zeitintervall N = 625 α-Teilchen
gemessen. Zur Abschätzung des Messfehlers kann diese Messung nicht wiederholt werden, da
sich das Präparat durch die Zerfälle verändert. Die Standardabweichung lässt sich stattdessen
mit Hilfe der Poisson-Verteilung bestimmen. Dazu gehen wir davon aus, dass der Messwert N
dem Mittelwert µ der Verteilung entspricht. Dann ist σ = √ µ = 25 die Standardabweichung
und N = 625 ± 25 das Messergebnis.
§ 1734 Bei Biotopkartierungen wurden im vergangenen Jahr auf der Testfläche 6 vierblättrige
Kleeblätter gefunden, in diesem Jahr 9. Können wir daraus auf eine Zunahme dieser Spezies
um 50% schließen? Die Messwerte wurden durch Zählen gewonnen, sie gehorchen der Poisson-
Statistik. Dann gilt für die Messwerte mit ihrer Standardabweichung: im Vorjahr wurden
6 ± 2.5 vierblättrige Kleeblätter gefunden, in diesem Jahr 9 ± 3. Die µ ± σ-Bereiche beider
Messungen überlappen sich, so dass wir aus den Ergebnissen nicht auf eine Veränderung
der Population schließen können. In einem anderen Biotop hat ein Kollege im Vorjahr 60
und in diesem Jahr 90 vierblättrige Kleeblätter gezählt, also ebenfalls eine Veränderung um
50%. In diesem Fall ist der Unterschied signifikant und legt eine Veränderung der Population
nahe, da sich die Bereiche 60 ± 7.7 aus dem Vorjahr und 90 ± 9.5 aus diesem Jahr nicht
überlappen. Dies Beispiel verdeutlicht ein Problem der Poisson-Statistik: bei kleinen Werten
sind die relativen Fehler sehr groß.
12.4.3 Mittelwert und Standardabweichung aus den Messwerten
§ 1735 Der Mittelwert der Verteilung ist das experimentelle Mittel (12.25) oder erste Moment
der Verteilung:
∞∑
∞∑
x = xF (x) = x N(x)
N = Σ N = x .
x=0
x=0
§ 1736 Die relative Form der Verteilung enthält die Information über die Fluktuationen im
Datensatz: die Weite der Verteilung ist ein Maß für die Streuung der Daten um den Mittelwert,
die Varianz. Dazu betrachten wir die Residuen, d.h. die Abweichungen der einzelnen
Messwerte vom Mittelwert: d i = x i − x. Da die Messwerte um den Mittelwert herum verteilt
sind, gibt es negative und positive Residuen und es ist ∑ d i = 0. Eine von Null verschiedene
Summe würde sich jedoch dann ergeben, wenn wir die Quadrate der Residuen betrachten:
(x i − x) 2 . Mit diesen quadrierten Residuen lässt sich eine Standardabweichung σ x definieren
als
√
√
√
σ x =
√ 1
N − 1
N∑ √
(d i ) 2 =
i=1
√ 1
N − 1
N∑
(x i − x) 2 . (12.26)
i=1
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Zuverlässigkeit und Genauigkeit der Einzelmessung;
sie ist der mittlere Fehler der Einzelmessung. Die Division durch N statt N − 1 in
(12.26) erklärt sich dadurch, dass nur N − 1 der Residuen unabhängig sind – da sie alle
auf den Mittelwert bezogen sind, ist der letzte Wert durch die N − 1 x-Werte und x genau
bestimmt.
§ 1737 Die Standardabweichung σ x des Mittelwertes, d.h. der mittlere Fehler des arithmetischen
Mittels oder die Streuung der aus verschiedenen Messreihen erhaltenen Mittelwerte x
um den wahren Mittelwert µ, ist gegeben durch
√
σ x = σ x
√
N
=
√ 1
N(N − 1)
n∑
(x i − x) 2 .
i=1
§ 1738 Der Durchmesser eines Seils wurde mehrfach gemessen. Als Messwerte ergaben sich
7.4 mm, 7.3 mm, 7.5 mm, 7.3 mm, 7.4 mm, 7.2 mm, 7.5 mm, 7.4 mm und 7.6 mm. Daraus
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007