Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

476 KAPITEL 12. STATISTIK
Aufgabe 274 Die Brennweite f einer Linse kann durch die Bildweite b und die Gegenstandsweite
g bestimmt werden zu 1 f = 1 b + 1 bg
g
oder f =
b+g
. Wie groß ist der Fehler in
f.
Aufgabe 275 Sie haben die unabhängigen Variablen x = 10 ± 2, y = 7 ± 1 und θ = 40 ◦ ± 3 ◦
gemessen und bestimmen daraus
x + 2
q =
x + y cos 40 ◦ .
Wie groß ist der Fehler?
Aufgabe 276 Die Erdbeschleunigung g [m/s 2 ] wurde 8 mal gemessen: 9.82, 9.79, 9.79, 9.80,
9.85, 9.81, 9.82 und 9.80. Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung der Einzelmessung
und des Mittelwerts. Bestimmen Sie ferner die Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α 1 = 5% bzw. α 2 = 1%. Wie groß sind die entsprechenden
Messunsicherheiten? Geben Sie schließlich die Messwerte in der Form Mittelwert ±
Messunsicherheit an.
Aufgabe 277 Die Messung der Saitenlänge l erfolge mit einer Standardabweichung von σ l =
4.2 mm. Wie viele Messungen sind mindestens notwendig, damit die Standardabweichung des
Mittelwerts höchstens σ l
= 0.6 mm beträgt?
Aufgabe 278 Eine Messreihe aus n = 400 Einzelmessungen ergab für die Masse eines
Körpers einen Mittelwert m = 105 g mit einer Standardabweichung der Einzelmessung von
s m = 3 g. Die Messwerte seines normalverteilt. Wie vieles Messwerte sind im Intervall von
103 g bis 108 g zu erwarten? Wie viele Messwerte liegen oberhalb 110 g.
Aufgabe 279 Eine normalverteilte Größe X wurde zehnmal wie folgt gemessen 21, 22, 21,
20, 21, 23, 21, 21, 20 und 20. Aus früheren Messungen kann die Standardabweichung σ als
σ = 0.9 bestimmt werden. Wie groß ist die Messunsicherheit der Messgröße X bei einem
Vertrauensniveau von γ = 95%?
Aufgabe 280 Bestimmen Sie die Höhe h eines Turms, dessen Spitze aus der Entfernung
e = (75.2 ± 2.5) m unter dem Erhebungswinkel α = 30 ◦ ± 1 ◦ erscheint. Wie groß ist die
absolute bzw. die prozentuale Messunsicherheit von h?
Aufgabe 281 Das Trägheitsmoment einer Kugel ist I = 2 5 mR2 . Wie genau ist I bestimmt,
wenn die relativen Fehler in m und R 5% bzw. 3% betragen?
Aufgabe 282 Das Volumen eines Würfels soll einen Fehler kleiner 2% haben. Wie wie genau
muss die Kantenlänge a bestimmt sein?
Aufgabe 283 Zählraten lassen sich durch die Poisson-Statistik beschreiben. Sie haben ein
Präparat vermessen und erhalten x = 1071 Zähler. Der Untergrund beträgt y = 521 Zähler.
Bestimmen Sie die Nettozählrate und deren Standardabweichung.
Aufgabe 284 Eine Messreihe liefert die folgenden Zahlenwerte für die Messgröße x: 17.5;
23.0; 16.8; 19.2; 20.7; 17.6; 18.4; 19.9; 18.6. Bestimmen Sie (a) den Mittelwert x, (b) die
Standardabweichung s des Mittelwerts, (c) die Varianz σ 2 der Grundgesamtheit, (d) den
mittleren Fehler des Mittelwerts. (e) Wie viel Prozent der Messwerte liegen innerhalb der
Grenzen x ± σ?
Aufgabe 285 Eine Messreihe für die Größe x liefert Werte x 1,1 , ..., x 1,n mit dem Mittelwert
x 1 . Eine zweite Messreihe x 2,1 , ..., x 2,n liefert den Mittelwert x 2 . Gilt für den Gesamtmittelwert
die Gleichung x = 1 2 (x 1 + x 2 ).
Aufgabe 286 Sie haben den folgenden Datensatz gemessen:
x 1.5 0.85 5.5 3.2 1.0 2.36 4.2 2.1 0.2 5.9
y 12.9 10.75 39.85 22.8 10. 16.25 26.7 13.2 9.5 44.75 .
Versuchen Sie eine lineare Regression. Bestimmen Sie über den Rang-Korrelationskoeffizienten,
ob eine Korrelation vorliegt oder nicht.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode