Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.2. ORDNUNG IM ZOO 411
§ 1522 Erweitern wir die Laplace Gleichung (11.5) um eine Inhomogenität, so erhalten wir
die Poisson Gleichung für das elektrostatische Potential U einer Ladungsverteilung ϱ
∆U = − ϱ ε 0
.
Auch diese PDGL beschreibt ein stationäres Feld, da nur die Änderung der räumlichen Koordinaten
betrachtet wird, nicht jedoch eine zeitliche Änderung.
§ 1523 Differentialgleichungen der Form
∆A = k ∂A
∂t ,
in denen die zweite räumliche Ableitung mit der ersten zeitlichen Ableitung verknüpft ist,
beschreiben langsame Veränderungen eines Feldes, d.h. seine Entwicklung. Typische Beispiele
sind Wärmeleitung und Diffusion, diese DGLs werden daher auch als Diffusions- oder
Wärmeleitungsgleichung bzw. allgemeiner als Transportgleichung bezeichnet.
§ 1524 Die Wellengleichung dagegen enthält die zweite zeitliche Ableitung, d.h. nicht die
zeitliche Veränderung des Feldes (also eine Geschwindigkeit) sondern die zeitliche Änderung
dieser Änderung (also eine Beschleunigung):
∆A = 1 c 2 ∂ 2 A
∂t 2 .
Sie beschreibt schnell veränderliche, in der Regel periodische Vorgänge.
§ 1525 Ein spezieller Fall einer Wellengleichung ist die Schrödinger Gleichung
− h2
∆Ψ(⃗r, t) + V (⃗r) Ψ = −ih∂Ψ
2m ∂t ,
die das Verhalten der Wellenfunktion Ψ(⃗r, t) eines Teilchens in einem Potentialtopf V (r)
beschreibt.
11.2.2 Randbedingungen
§ 1526 Die Lösungen partieller Differentialgleichungen sind Felder, d.h. physikalische Größen,
die sowohl von den räumlichen Koordinaten als auch von der Zeit abhängen. Bei gewöhnlichen
DGLs haben wir Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit betrachtet. Die Lösungsverfahren
haben jeweils eine allgemeine Lösung geliefert, die je nach Ordnung der DGL eine oder
mehrere Integrationskonstanten enthielt. Für die spezielle Lösung haben wir diese Integrationskonstanten
aus den Anfangsbedingungen bestimmt.
§ 1527 Derartige Anfangsbedingungen benötigen wir bei partiellen Differentialgleichungen
für nicht-stationäre Felder ebenfalls zum Auffinden der speziellen Lösung. Da wir bei einer
partiellen Differentialgleichung aber nicht nur über die Zeit sondern auch über die räumlichen
Koordinaten integrieren, erhalten wir zusätzliche Integrationskonstanten, die aus den Randbedingungen
bestimmt werden können.
§ 1528 Randbedingungen werden in zwei Klassen unterteilt. Bei Dirichlet’schen Randbedingungen
werden die Funktionswerte A auf der Grenze G des betrachteten Bereichs festgelegt:
A(G) = f. Bei den Neumann’schen Randbedingungen dagegen werden die Normalenableitungen
∂A/∂n auf der Grenze G vorgegeben: ∂A
∂n
(G) = f.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007