Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.4. FEHLERRECHNUNG (DESKRIPTIVE STATISTIK) 461
Abbildung 12.11: Verteilung der Messwerte einer mehrfach wiederholten Messung, dargestellt
als Histogramm
§ 1723 Für das Ergebnis einer Messung können wir festhalten: die Angabe eines Messwertes
x m ist nur zusammen mit der Angabe eines Messfehlers ∆x sinnvoll. Auf diese Weise erhalten
wir ein Intervall [x−∆x, x+∆x], in dem der wahre Wert mit großer Wahrscheinlichkeit liegt.
Wir werden später auch quantitative Maße für diese Wahrscheinlichkeit einführen.
§ 1724 Bei der Darstellung von Messungen und Messfehlern sollte die letzte signifikante
Ziffer im Ergebnis von der gleichen Größenordnung sein wie der Fehler. So ist v = (6051.73 ±
30) m eine ungeschickte Angabe, da schon die Ziffer 5 unsicher ist und zwischen 2 und 8
liegen kann. Daher kommen der 1, 7 und 3 keine Bedeutung zu. Besser wäre eine Angabe der
Form v = (6050 ± 30) m.
12.4.1 Charakterisierung von Messdaten
§ 1725 Eine mehrfach unter gleichen Bedingungen durchgeführte Messung liefert eine Zahl
von N unabhängigen Messwerten
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , ..., x N . (12.24)
Diese Messwerte können dargestellt werden durch eine Verteilung F (x) (Histogramm, vgl.
Abb. 12.11), die die volle Information der Messung enthält, oder reduziert auf zwei Parameter
Mittelwert µ = x und Varianz σ 2 , die zwar die Verteilung charakterisieren, jedoch nicht alle
ihre Details enthalten.
§ 1726 Zwei elementare Eigenschaften der Messreihe (12.24) können unmittelbar angegeben
werden: zum einen die Summe
N∑
Σ = x i ,
i=1
zum anderen der experimentelle Mittelwert
x e = Σ N = 1 N∑
x i . (12.25)
N
i=1
12.4.2 Verteilung, Mittelwert und Varianz
§ 1727 In diesem Abschnitt wollen wir eine Verbindung zwischen dem experimentellen Mittelwert
und den durch Verteilungen nahegelegten wahren Mittelwerten herstellen. Dazu rekapitulieren
wir kurz die für die Untersuchung von Messwerten relevanten Verteilungsfunktionen
aus Kap. ??.
(Normalverteilte) Messwerte
§ 1728 Die durch (12.24) gegebene Verteilung F (x) lässt sich beschreiben als
F (x) =
Zahl der beobachteten Werte x
Zahl der Messungen N
Diese Verteilung ist normiert mit
∞∑
F (x) = 1 .
x=0
.
Sie enthält, abgesehen von der Reihenfolge des Auftretens, die volle Information, die auch
in der Liste (12.24) enthalten ist. Sie kann als ein Histogramm dargestellt werden, vgl.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007