Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.2. ELEMENTARES DIFFERENZIEREN 521
Abbildung C.3: Wurf von Turm, Skizze zu
Bsp. 11
• die erste Ableitung f ′ (x) verschwindet in einem Punkt x, wenn in diesem Punkt die Steigung
verschwindet, d.h. wenn es sich um eine (lokales) Maximum, ein (lokales) Minimum
oder einen Sattelpunkt handelt, vgl. Abb. C.2.
• die erste Ableitung gibt die Veränderung der Funktion f(x) bei Änderung von x; die zweite
Ableitung gibt entsprechend die Änderung der ersten Ableitung und damit die Änderung
der Änderung von f(x) an.
• Mit Hilfe der zweiten Ableitung kann man die aus den Nullstellen der ersten Ableitung
bestimmten Punkte mit waagerechter Tangente einordnen in
– lokales Minimum wenn f ′′ (x) > 0,
– lokales Maximum wenn f ′′ (x) < 0 und
– Sattelpunkt wenn f ′′ (x) = 0.
§ 1868 Wir können diese bisher aus mathematischer Sicht geführte Kurvendiskussion auch in
ein physikalisches Beispiel übersetzen. Dazu nehmen wir den Verlauf der Kurven in Abb. C.2
und verwenden die zeit als die unabhängige variable, d.h. t an Stelle von x, und den Ort
als die abhängige, d.h. s(t) an Stelle von f(x). Die Ableitung f ′ (x) entspricht dann der
Geschwindigkeit v(t). Damit
• eine Nullstelle in s(t) bedeutet, dass der Körper wieder am Bezugspunkt s0 = vorbei
kommt. Nullstellen befinden sich als bei den Zeiten t i , für die gilt s(t i ) = 0, d.h. für die
der Körper wieder an einem ausgezeichneten/markierten Ort anlangt.
• die erste Ableitung beschreibt die Veränderung des Ortes s mit der Zeit t, also die Geschwindigkeit:
v = s ′ (t). Verschwindet die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt, so ist der
Körper in diesem Zeitpunkt in Ruhe, z.B. weil er gerade seine Bewegungsrichtung umdreht
oder ‘eine kurze Pause’ einlegt. Die Umkehr der Bewegungsrichtung entspricht einem lokalen
Maximum oder lokalen Minimum: hat sich der Körper anfangs auf diesen Punkt zu
bewegt, so wird er immer langsamer bis seine Geschwindigkeit Null wird und er sich anschließend
in Gegenrichtung und damit mit umgekehrtem Vorzeichen der Geschwindigkeit
von diesem Punkt weg bewegt. Die Ruhepause entspricht einem Sattelpunkt: der Körper
ist zwar zur Ruhe gekommen, bewegt sich anschließend aber in gleicher Richtung weiter.
• die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit entspricht der ersten Ableitung der Geschwindigkeit
nach der zeit und damit der Beschleunigung: a(t) = v ′ (t) = s ′′ (t). Maxima in der
Geschwindigkeit entsprechen den Nullstellen in der Beschleunigung: zuerst wurde die Geschwindigkeit
mit Hilfe einer positiven Beschleunigung bis zu ihrem Maximum erhöht, zur
Reduktion der Geschwindigkeit muss dann eine negative Beschleunigung (Verzögerung)
wirken.
Beispiel 11 Ein Stein wird von einem 50 m hohen Turm mit einer Geschwindigkeit
von 10 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wo und wann erreicht der Stein das
Maximum seiner Flugbahn und wann trifft er auf den Boden vor dem Turm auf?
Hinweis: für die Gravitationsbeschleunigung können Sie g = 10 m/s 2 verwenden; die
Situation ist im linken Teil von Abb. C.3 gezeigt.
Die Bewegung des Steins wird beschrieben durch die Funktion s(t). Physikalisch
benötigen wir hier das Weg–Zeit-Gesetz in einer allgemeinen Form, die (a) die Bec○
M.-B. Kallenrode 13. März 2007