Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

350 KAPITEL 8. MATRIZEN
Mathematische Probleme
Aufgabe 160 Überprüfen Sie, ob die Vektoren ⃗a = (1, 1, 0), ⃗ b = (1, 0, 1) und ⃗c = (0, 1, 1)
Basisvektoren im 3D sind.
Aufgabe 161 Zeigen Sie, dass für symmetrische (n × n)-Matrizen gilt ⃗x T A⃗y = ⃗y T A⃗x.
Aufgabe 162 Zeigen Sie, dass für die Spur quadratischer Matrizen gilt Sp(AB) = Sp(BA) .
Aufgabe 163 Zeigen Sie, dass ⃗xA T = A⃗x.
Aufgabe 164 Gegeben sind die Drehmatrixen
( )
cos ϕ − sin ϕ
D ϕ =
und D
sin ϕ cos ϕ
−ϕ =
( )
cos(−ϕ) − sin(−ϕ)
sin(−ϕ) cos(−ϕ ) .
Zeigen Sie, dass D ϕ für alle ϕ regulär ist. Da die durch D ϕ gemachte Drehung durch Anwendung
von D −ϕ rückgängig gemacht wird, muss gelten
D −1
ϕ = D −ϕ bzw. D ϕ D −ϕ = E .
Zeigen Sie, dass diese Ausdrücke gelten.
Physikalische Anwendungen
Aufgabe 165 Gegeben sind die beiden Drehmatrizen
( )
( )
cos ϕ − sin ϕ
cos ϑ − sin ϑ
D ϕ =
und D
sin ϕ cos ϕ
ϑ =
sin ϑ cos ϑ
.
Zeigen Sie, dass wie anschaulich zu erwarten, gilt
( )
cos(ϕ + ϑ) − sin(ϕ + ϑ)
D ϕ D ϑ =
.
sin(ϕ + ϑ) cos(ϕ + ϑ)
Zeigen Sie ferner durch vollständige Induktion, dass gilt
( )
D n cos(nϕ) − sin(nϕ)
ϕ =
.
sin(nϕ = cos(nϕ)
Aufgabe 166 Matrix A beschreibt die Spiegelung eines Raumpunktes an der xy-Ebene,
Matrix B die Drehung des räumlichen Koordinatensystems um die z-Achse um den Winkel
α. Zeigen Sie, dass beide Matrizen orthogonal sind:
A =
⎛
⎞
⎝ 1 0 0
0 1 0 ⎠ , B =
0 0 −1
⎛
⎞
cos α sin α 0
⎝ − sin α cos α 0 ⎠ .
0 0 1
Aufgabe 167 Transformieren sie die Vektoren (1,1,0) und (0,1,1) mit Hilfe der Drehmatrix
⎛
⎞
D = ⎝
√
2
2
− √ 2
2
√
2
2
0
√
2
2
0
0 0 1
⎠ .
Aufgabe 168 Transformieren Sie mit der Matrix aus Aufgabe 167 den Tensor
⎛
1
2
A = ⎝
(a + b) ⎞
1
2
(a − b) 0
1
2 (a − b) 1
2
(a + b) 0 ⎠ .
0 0 c
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode