Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.1. MOTIVATION 407
Abbildung 11.1: Momentaufnahmen einer
schwingenden Saite zur Zeit t 0 (rot), t 0 + T/4
(schwarz) und t 0 + T/2 (grün)
§ 1505 Im voran gegangenen Kapitel haben wir Felder kennen gelernt sowie die Ableitung
und Integration derselben. Damit können wir auf einem Feld die gleichen mathematischen
Operationen vornehmen, die wir in Kap. 4 und 5 für Funktionen kennen gelernt haben.
Damit drängt sich die Vermutung auf, dass eine Gleichung, die eine Beziehung zwischen
den partiellen Ableitungen eines Feldes herstellt, auch als Bestimmungsgleichung für ein
Feld verwendet werden kann. Partielle Differentialgleichungen (PDGLs) erfüllen genau diesen
Anspruch.
§ 1506 Partielle Differentialgleichungen treten in der Physik daher immer dann auf, wenn
aus der Ableitung eines Feldes (oder allgemein einer Funktion mehrerer Variabler) dieses
rekonstruiert werden soll. Da viele physikalische Größen durch (zeitlich veränderliche) Felder
beschrieben werden, sind PDGLs entsprechend häufig. Die bereits in Abschn. 10.6 diskutierten
Maxwell Gleichungen liefern einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen (Divergenz
bzw. Rotation) von elektrischem und magnetischem Feld und den diese Felder erzeugenden
Ladungs- und Stromverteilungen: diese partiellen Differentialgleichungen erlauben die z.B.
Rekonstruktion des Feldes aus der bekannten Ladungsverteilung. Wir werden diesen Themenbereich
im Zusammenhang mit der Poisson Gleichung in Abschn. 11.5 vertiefen.
§ 1507 Ebenfalls aus den Maxwell Gleichungen lässt sich eine andere Form einer PDGL
herleiten, die Wellengleichung. Ihre Anwendungen sind nicht auf das elektromagnetische Feld
beschränkt. Ebenso wie bei der Schwingungsgleichung lassen sich verschiedenen Wellen mit
Hilfe der Wellengleichung beschrieben – nicht die Form der Gleichung, nur die Namen der
auftretenden Variablen und Parameter müssen an die jeweilige Situation angepasst werden.
Auf Grund der Vielzahl der Anwendungsmöglichkeiten werden wir uns mit der Herleitung der
Wellengleichung in diesem Abschnitt etwas genauer beschäftigen: wir werden die schwingende
Saite als Beispiel für eine eindimensionale mechanische Welle betrachten und anschließend
die Wellengleichung für die elektromagnetische Welle als Beispiel für eine dreidiemensionale
Welle herleiten. Die Wellengleichung und ihre Lösungen für verschiedene Geometrien und in
unterschiedlichen Zahlen von Dimensionen werden uns in Abschn. 11.3 genauer beschäftigen.
§ 1508 Eine ganz andere, ebenfalls durch eine partielle Differentialgleichung beschreibbare
Situation, ist die Ausbreitung eines Tintentropfens in einem Wasserglas. Dieser verteilt sich
im Laufe der Zeit auf Grund der thermischen Bewegung der Wassermoleküle über das gesamte
Wasservolumen. Dieser Prozess wird durch die Diffusionsgleichung beschrieben. Eine formal
identische Gleichung, nur wieder mit anderen variablen und Parametern, beschreibt den
Wärmestransport. Beide Gleichungen werden wir in Abschn. 11.6 genauer untersuchen.
11.1.1 Schwingende Saite
§ 1509 Beginnen wir mit einem einfachen eindimensionalen Beispiel, der schwingenden Saite.
Momentaufnahmen dieser Saite sind in Abb. 11.1 gezeigt. So, wie uns die Momentaufnahmen
einen Eindruck von der Bewegung der Saite vermitteln, so können wir auch deren Lösung
betrachten: zu festen Zeiten t wird jeweils die räumliche Abhängigkeit der Auslenkung X(x)
bestimmt. Die Schwingung ist dann die zeitliche Entwicklung dieser Auslenkung, also eine
Funktion A(x, t). Für die von uns betrachteten PDGLs ist stets eine Separation der beiden
Anteile möglich: die Auslenkung wird dargestellt als das Produkt aus der räumlichen Variation
X(x) der Auslenkung und der zeitlichen Variation T (t): A(x, t) = X(x) T (t). Dieser
Zusammenhang wird im Separationsansatz ausgenutzt.
§ 1510 Wie beschreiben wir mathematisch die schwingende Saite? Die Standardannahmen
gehen von einer dünnen und langen Saite aus, d.h. einem idealisierten eindimensionalen
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007