Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.9. NUMERISCHE VERFAHREN 275
wie die numerischen Integration von Funktionen keine Stammfunktion sondern nur ein bestimmtes
Integral liefert, liefert die numerische Integration von Differentialgleichungen keine
allgemeine Lösung sondern nur die spezielle Lösung für die gegebenen Anfangsbedingungen.
Auch für die numerische Integration von Differentialgleichungen gibt es eine anschauliche
Interpretation: der Anfangswert ist der Startpunkt, die DGL gibt an, wie sich der Funktiosnwert
verändert, so dass vom Anfangswert auf einen Wert der gesuchten Funktion zu
einem etwas späteren Zeitpunkt extrapoliert werden kann. An diesem neuen Wert wird das
Verfahren fortgesetzt.
7.9.1 Die Idee
§ 1033 Dieser Abschnitt dient nur als Vorüberlegung zur Veranschaulichung der Verfahren,
der formale Einstieg beginnt erst in Abschn. 7.9.2. Hier werden wir numerische Lösungen für
gewöhnliche DGLs erster und zweiter Ordnung an den hinlänglich bekannten Beispielen des
radioaktiven Zerfalls und des ungedämpften Federpendels betrachten.
Homogene DGL 1. Ordnung: radioaktiver Zerfall
§ 1034 Der radioaktive Zerfall wird durch die Differentialgleichung
dN = −λN dt
mit der Anfangsbedingung N(0) = N 0 beschrieben. Zwar gibt die DGL die Veränderung
der Funktion, für ein numerisches Verfahren ist sie jedoch nicht geeignet, da sie Differentiale
enthält. Numerisch Arbeiten können wir jedoch nur mit endlichen Differenzen. Daher ist der
erste Schritt in der numerischen Lösung einer DGL die Diskretisierung, d.h. der Übergang
von der Differential- (zurück 10 ) zur Differenzengleichung:
∆N = −λN ∆t . (7.41)
§ 1035 Die Differenzengleichung gibt die Änderung ∆N der Zahl N der Atome in einem
Zeitintervall ∆t. Die Zahl der Atmone N(t + ∆t) am Ende des Zeitintervalls ergibt sich zu
N(t + ∆t) = N(t) − ∆N(t) = N(t) − λN(t) ∆t .
Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens lässt sich eine Folge N(t 0 + n∆t) konstruieren,
die eine Annäherung an die gesuchte Funktion N(t) ist.
§ 1036 Ausgehend von der Differenzengleichung (7.41) und der Anfangsbedingung lässt sich
dieses numerische Verfahren wie folgt zusammen fassen. Wähle eine Schrittweite ∆t. Dann
durchlaufe das folgende Schema:
1. Bestimme aus N(t) mit (7.41) die Zahl ∆N der in ∆t zerfallenden Atome.
2. Bestimme die Zahl der am Ende des Zeitintervalls verbliebenen Atome: N(t + ∆t) =
N(t) + ∆N.
3. Erhöhe die Zeit um ∆t: t → t + ∆t.
4. Ist die neue Zeit t kleiner einer vorgegebenen Endzeit und die Zahl N(t) größer Null,
gehe zu Schritt 1 und wiederhole das Schema; sonst Stopp.
§ 1037 Die Qualität eines derartigen Verfahrens hängt von der Schrittweite ∆t oder genauer
von dem Verhältnis aus Schrittweite ∆t und relevanter Zeitskala τ = 1/λ des Systems ab.
Eine große Schrittweite spart Rechenzeit und ist daher anzustreben. Eine große Schrittweite
hat aber den Nachteil, dass während des gesamten Zeitschritts von einer konstanten Zahl N(t)
ausgegangen wird ohne deren Veränderung zu berücksichtigen – damit ist ein entsprechend
großer Fehler des Verfahrens verbunden.
10 Denken Sie daran: der Differentialquotient ist der Grenzwert eines Differenzenquotienten für den Fall,
dass die Differenz im Nenner gegen Null strebt. Der Übergang vom Differential- auf den Differenzenquotienten
kann daher auch so interpretiert werden, dass wir von Differenzen ausgehen und nie den Übergang auf Differentialquotienten
gemacht haben. Die Differenzengleichung hatten wir bei der Einführung der entsprechenden
DGL in Abschn. 7.1.1 bereits betrachtet.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007