Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

414 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 11.4: Eine hochfrequente
Welle (rot) kann entlang einer niederfrequenten
(grün) oszillieren, die
schwarze Kurve gibt die Überlagerung
der beiden
§ 1536 Gleichung(11.9) besteht aus einer Summe von Termen sin ( )
nπx
l , jeweils mit einem
Vorfaktor. Eine Reihe dieser Form wird als Fourier Reihe bezeichnet, vgl. Abschn. 7.7.5.
Mit (7.37) können wir das Ergebnis (11.9) für die schwingende Saite formal so interpretieren,
dass die Terme sin ( )
nπx
l die Eigenfunktionen (verallgemeinerte Eigenvektoren, Eigenmoden)
sind, die Vorfaktoren die Eigenwerte.
§ 1537 Die Eigenschaften der Lösungen (11.9) haben einige interessante Eigenschaften. Diese
lassen sich vielleicht am Besten am Beispiel von Saiteninstrumenten illustrieren:
1. jeder Term in der Reihenentwicklung repräsentiert eine andere Harmonische der Schwingung.
Die Koeffizienten ergeben sich aus den Anfangsbedingungen; für gebräuchliche
Saiteninstrumente und halbwegs passablen Umgang mit ihnen werden die Koeffizienten
mit zunehmender Ordnung immer kleiner, d.h. nur die Grundschwingung und die unteren
Obertöne tragen signifikant zur Schwingung und damit zum Klang bei. Die unterschiedliche
Klangfarbe der verschiedenen Saiteninstrumente entsteht durch unterschiedliche
Beiträge der einzelnen Harmonischen.
2. jede Harmonische erzeugt eine Welle, die die Saite entlang läuft. Da das System linear
ist, wechselwirken diese verschiedenen Harmonischen nicht miteinander und die Gesamtlösung
ist eine einfache Überlagerung der verschiedenen Harmonischen. Daher kann
eine hochfrequente Welle entlang einer niederfrequenten oszillieren, vgl. 11.4.
3. Änderungen der Anfangsbedingungen oder der Art, wie die Saite zur Schwingung angeregt
wird, bestimmt die Koeffizienten a n in (11.9). Auf diese Weise lassen sich bestimmte
Harmonische unterdrücken oder verstärken. Wird eine Saite an einem Punkt L/n angeregt,
so wird die Lösung die n te Harmonische nicht enthalten. Dies nutzt man im Klavier
aus, bei dem die Saiten stets bei L/7 angeschlagen werden: dadurch verschwindet die 7 te
Harmonische, die in westlicher Musik als dissonant empfunden wird.
4. da die (Kreis-)Frequenz einer Schwingung durch nπ/l gegeben ist, nimmt sie mit zunehmender
Saitenlänge l zu. Das Frequenzverhältnis zwischen zwei sukzessiven C’s, also eine
Oktave, ist stets 2: die Verdopplung der Saitenlänge bei ansonsten unveränderter Saite
reduziert die Frequenz um eine Oktave. Tiefe Töne benötigen daher sehr lange Saiten und
entsprechend große Instrumente. Bei einer Gitarre dagegen sind alle Saiten gleich lang.
Hier werden die unterschiedlichen Grundschwingungen der einzelnen Saiten nicht über
die Saitenlänge sondern über die Massenbelegung ϱ verändert. Dickere Saiten führen zu
einem größeren ϱ und damit zu einer geringeren Geschwindigkeit c 2 = T/ϱ der Welle.
Dann lässt sich mit der kurzen Saite eine entsprechend niedrigere Frequenz erzeugen.
11.3.2 Allgemeine Lösung der 1D-Wellengleichung
§ 1538 Die schwingende Saite ist ein Spezialfall für die Lösung der eindimensionalen Wellengleichung.
Sie ist durch Sinus- und Kosinusterme darstellbar und beschreibt eine harmonische
Schwingung.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode