Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

160 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
darstellen. Diese Darstellung kann durch Isolinien oder als Fläche im dreidimensionalen Raum
erfolgen.
§ 633 Für viele Anwendungen ist die Reduktion auf zwei unabhängige Variable keine Einschränkung:
das Potential zweier elektrischer Punktladungen entgegengesetzten Vorzeichens,
eines elektrischen Dipols, z.B. ist rotationssymmetrisch um die Verbindungsachse. Ein Plot
des Potentials über einer diese Symmetrieachse enthaltenden Ebene ist möglich, da wir dann
das Potential nur in Abhängigkeit von zwei Variablen bestimmen. Das Ergebnis ist ähnlich
dem in Abb. 3.24. Die Abbildung enthält aber bereits die volle Information über das dreidimensionale
Feld: in jeder die Dipolachse enthaltenden Ebene sieht das Feld genau so aus.
gradient
quiver
§ 634 Zur Bestimmung des Gradienten stellt MatLab die Funktion gradient zur Verfügung.
Sie wurde z.B. in Abb. 4.10 verwendet. Der linke Teil der Abbildung wurde erzeugt mit dem
MatLab-Fragment
[x,y] = meshgrid([-2:0.4:2],[0:0.4:4]); f=(x. ∧ 2+y);
[gx,gy] = gradient(f,0.4,0.4);
mesh(x,y,f); hold on; quiver(x,y,gx,gy); hold off;
Die erste Zeile definiert das Gitter in x und y sowie die Funktion f. In der zweiten Zeile wird der
Gradient mit Hilfe der Funktion gradient bestimmt. Dieser MatLab-Funktion werden drei
Argumente übergeben: die zu analysierende mathematische Funktion f sowie die Abstände
in x und y, an denen der Gradient bestimmt werden soll. In diesem Fall sind die Abstände der
Stützstellen so gewählt worden, dass an jedem der mit meshgrid definierten Gitterpunkte in
der xy-Ebene auch der Gradient bestimmt wird. Die Funktion Gradient gibt zwei Vektoren gx
und gy zurück, die die jeweiligen Komponenten des Gradienten an den Stützstellen enthalten.
Ihre Darstellung erfolgt mit Hilfe der MatLab Funktion quiver. Diese ist ein allgemeines
Tool zur Darstellung von Vektoren im zweidimensionalen Raum. An quiver werden zwei
Paare von Parametern übergeben: das erste Paar x und y enthält die Stützstellen, an denen
die Vektoren beginnen. Das zweite Paar gx und gy enthält die entsprechenden Komponenten
der Vektoren. Werden nur zwei Parameter an quiver übergeben, so werden die dadurch
beschriebenen Vektoren an äquidistanten Punkten in der xy-Ebene dargestellt.
Kontrollfragen
Kontrollfrage 15 Erläutern Sie die Grundbegriffe der Differentialrechnung: Differenzenund
Differentialquotient, Differenzierbarkeit und Differential. Erweitern Sie diese Begriffe
auf Funktionen mehrerer Variablen.
Kontrollfrage 16 Erläutern Sie den Begriff des Feldes, geben Sie (physikalische) Beispiele
für typische Feldgeometrien und erläutern sie den Gradienten formal und anschaulich.
Kontrollfrage 17 Skizzieren Sie Regeln für die Transformation der Einheitsvektoren beim
Übergang von einem in ein anderes Koordinatensystem.
Fragen
Frage 32 Erläutern Sie den Unterschied zwischen einem Differenzen- und einem Differentialquotienten.
Frage 33 Welche Bedeutung hat ein Differential?
Frage 34 Warum gelten für die Differentiation vektorwertiger Funktionen die auch für skalare
Funktionen verwendeten Regeln?
Frage 35 Welche anschauliche Bedeutung hat die partielle Ableitung?
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode