Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Inhaltsverzeichnis
1 Vektoren 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Physikalische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Mathematische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Kartesische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Einheitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Einfache Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Krummlinige Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Einschub: Darstellung von Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ebener Winkel: Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Produkte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Skalarprodukt (inneres Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Vektorprodukt (Kreuzprodukt, äußeres Produkt) . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Spatprodukt (gemischtes Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4 Mehrfachprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Anwendungen für Produkte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Geometrische Interpretation und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . 19
Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Skalarprodukt: Lorentz-Kraft und Energieerhaltung . . . . . . . . . . 20
Fläche des aufgespannten Parallelogramms . . . . . . . . . . . . . . . 21
Darstellung einer Fläche mit Hilfe des Normalenvektors . . . . . . . . 21
Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor . . . . . . . . . . . 21
Projektion eines Vektors auf eine Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Volumen eines Spats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2 Physikalische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Wenn’s mal rund geht: Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . 27
1.6 Mathematische Ergänzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 Geometrische Grundzutaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Systeme linearer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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