Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.5. DGL ZWEITER ORDNUNG AM BEISPIEL DES FEDERPENDELS 245
Allgemeine ortsabhängige Kraft
§ 936 Beim harmonischen Oszillator entsteht die spezielle Form der Bewegungsgleichung
(zweite Ableitung des Ortes proportional zum Ort) dadurch, dass die rücktreibende Kraft linear
vom Ort abhängig ist. Betrachten wir als Ergänzung eine allgemeine, vom Ort abhängige
Kraft. Die Bewegung wird durch eine einzige ortsabhängige Kraft k(x) bestimmt. Dann lässt
sich die Bewegungsgleichung schreiben als
mẍ = k(x) .
Multiplikation mit ẋ liefert die Energieerhaltung (den Trick haben wir, wenn auch mit vektoriellen
Größen, bereits in § 109 verwendet)
mẍẋ = ẋk(x) .
Das Produkt aus erster und zweiter Ableitung auf der linken Seite lässt sich schreiben als 1 2ẋ2 ,
d.h. links steht die zeitliche Änderung der kinetischen Energie. Auf der rechten Seite steht ein
Produkt aus der zeitlichen Änderung des Weges (Geschwindigkeit) und einer Kraft: dx
dt k(x).
Da die Kraft nicht von der Zeit t abhängt, kann sie entsprechend der Faktorenregel in § 519 in
d
die Ableitung hinein gezogen werden:
dt
(x k(x). Da das Produkt aus Weg x und Kraft k(x)
d
eine Arbeit ist, entspricht dieser Ausdruck der zeitlichen Änderung der Arbeit:
dt
(x k(x) =
d
dtW . Arbeit kann als Hubarbeit verwendet werden, um einen Körper von einem Poteltial
auf ein anderes zu heben. Daher kann der Ausdruck auch als Ableitung eines Potentials
U(x) =
∫x(t)
k(x) dx
geschrieben werden. Die Bewegungsgleichung wird damit zu
( )
d 1
dt 2 mẋ2 = − d dt U(x)
und nach Integration
1
2 mẋ2 = E − U(x)
mit der Gesamtenergie E als der Integrationskonstanten.
§ 937 Diese DGL erster Ordnung für x(t) kann durch Separation der Variablen umgeschrieben
werden zu
dx
dt = √
.
2
m (E − U(x))
Integration liefert
t − t 0 =
∫ x
x 0
dx
√
.
2
m (E − U(x))
§ 938 Für den harmonischen Oszillator gilt k(x) = −kx und damit für das Potential U(x) =
− ∫ kx dx = − 1 2 kx2 . Damit ergibt sich ein Integral der Form ∫ dx/ √ a 2 − x 2 und damit als
Lösung der DGL wie erwartet eine Winkelfunktion.
Querverbindung 6 Den Zusammenhang zwischen Arbeit unt Potential haben wir bei der
einfachen Einführung des Linienintegrals in Abschn. 5.4.2 bereits versucht zu formalisieren.
Querverbindung 7 Der Zusammenhang zwischen Integralen der Form ∫ dx/ √ a 2 − x 2 und
Winkelfunktionen wurde bereits in Abschn. 3.4.2 genauer betrachtet.
Querverbindung 8 Die potentielle Energie in einer gespannten Feder sollten Sie bereits als
beim Sannen der Feder zu leistende Arbeit in Aufgabe 83 genauer betrachtet haben.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007