Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.3. ELEMENTARES INTEGRIEREN 533
Beispiele Substitution
§ 1890 Die Anwendung der Substitutionsregel erfordert, dass wir die zu integrierende Funktion
in eine elementare Grundfunktion mit bekanntem Integral und eine passende innere
Funktion zerlegen. Das Verfahren kann bei einer gegebenen Funktion erfolgreich sein, muss
aber nicht.
Beispiel 19 Beginnen wir mir einem einfachen Beispiel. Gesucht ist das Integral der
Funktion
f(x) = 1
2x + 5 .
Die Funktion hat die Form 1/u, d.h. wir erwarten einen natürlichen Logarithmus.
Also substituieren wir u = 2x + 5. Die Ableitung dieser Funktion u(x) liefert u ′ = 2.
Einsetzen in die Substitutionsregel liefert
∫
∫
1
2x + 5 dx =
1
u
du
2 = 1 2
∫ 1
u du = 1 2
ln |u| + C .
Damit haben wir ein Integral von f(x) gefunden, allerdings steht da noch nicht die
Variable x drin sondern unsere substituierte Variable u. Diese müssen wir durch
Rücksubstition von u = 2x + 5 ersetzen und erhalten als Lösung
∫
1
2x + 5 dx = 1 ln |2x + 5| + C .
2
✷
Beispiel 20 Auch die bereits aus der Differentiation bekannte Winkelfunktion cos(ωt+
ϕ) lässt sich auf diese Weise integrieren. Die äußere Funktion ist der Kosinus, die innere
substituieren wir als u(t) = ωt + ϕ. Die Ableitung dieser Funktion (nach der
unabhängigen Variablen t) ist u ′ = ω. Nach Einsetzen in die Substitutionsformel
erhalten wir für das Integral
∫
∫
cos(ωt + ϕ) dt =
cos(u) du
ω = 1 ω
∫
cos(u) du = 1 ω sin(u) + C .
Auch hier dürfen wir am Ende die Rücksubstitution nicht vergessen:
∫
cos(ωt + ϕ) dt = 1 sin(ωt + ϕ) + C .
ω
Falls Ihnen das etwas Vodoomäßig vorkommt, leiten Sie den Ausdruck doch einfach
ab und überprüfen, ob Sie die zu integrierende Funktion zurück erhalten. ✷
Beispiel 21 Wurzeln sind ein weiteres beliebtes Spielfeld für Integration mit Hilfe
der Substitutionsmethode. Betrachten wir dazu das Integral der Funktion
f(x) = 24x 2 √ 9 + 4x 3 .
Die Wurzel ist als eine geeignete äußere Funktion offensichtlich, die zu substituierende
innere Funktion ist dann u(x) = 9 + 4x 3 mit der Ableitung u ′ = +12x 2 . Aber was
machen wir mit den 24x 2 ? Lassen wir sie erst mal stehen, wenden stur das Schema
an uns gucken, was passiert:
∫
24x √ ∫
2 9 − 4x 3 dx =
24x 2 √ u du
12x 2 = 2 ∫ √u du .
Hier hat sich unser Problem der 24x 2 in der Ausgangsfunktion gelöst: die unabhängige
Variable x in diesem Ausdruck ließ sich gegen die entsprechende im u ′ kürzen. Damit
enthält das Integral nur eine unabhängige Variable, das u, und wir können die
Integration ausführen:
∫
24x √ ∫ ∫
√u 2 9 − 4x 3 1
dx = 2 du =
2
u 1 1 2
2 du =
2 3 u 3 1√ 2 + C = 9 + 4x
3 3 + C .
3
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007