Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Anhang D
Lösungen zu Fragen und Aufgaben
Kapitel 1
Frage 1: ϕ läuft in Äquatorebene von 0 bis 2π und deckt (zusammen mit r) alle Punkte
in dieser Ebene ab. Daher muss ϑ nur alle Ebene abdecken und läuft nur von 0 bis π.
Vertauschen ist möglich (drehen Sie einfach die Kugel unter dem Koordinatensystem so, dass
der alte Äquator auf einen Längenkreis fällt). In beiden Fällen werden alle Punkte abgedeckt
erreicht
Frage 2: Ortsvektor vom Ursprung aus, Verschiebungsvektor zwischen zwei Punkten ⇒
Ortsvektor Spezialfall des Verschiebungsvektors wobei der eine Punkt als Ursprung festgelegt
ist.
Frage 3: Nein! Kartesisch ja, in Polar-, Zylinder- Kugelkoordinaten dagegen nicht. Konstant
ist dort nur der Betrag der Einheitsvektoren, nicht aber die Richtung.
Frage 4: Geradengleichung benötigt einen Punkt auf der Geraden (z.B. ⃗r 1 ) sowie die Richtung
zwischen den beiden Punkten, z.B. ⃗r = ⃗r 2 −⃗r 1 . Von ⃗r 1 gehen wir ein beliebiges Vielfaches
in Richtung ⃗r und bleiben dabei stets auf der Geraden: ⃗g = ⃗r 1 + λ⃗r mit λ ∈ R Für λ = 1
sind wir dann genau von ⃗r 1 nach ⃗r 2 gelangt: ⃗g(1) = ⃗r 1 + ⃗r = ⃗r 1 + ⃗r 2 − ⃗r 1 = ⃗r 2 .
Frage 5: (a) kartesisch (1D System, an der Bewegungsrichtung orientiert), (b) kartesisch (ist
auf Grund der konstanten Einheitsvektoren vorzuziehen, da eine irreguläre Bewegung es nicht
erlaubt, den Nachteil der in den anderen Systemen veränderlichen Einheitsvektoren durch
konstant halten einer Komponente zu kompensieren), (c) Polarkoordinaten (Kreisbewegung;
falls elliptische Bahn berücksichtigt werden soll, ist kartesisch ok, oder sie können elliptische
Koordinaten einführen), (d) wie (c), (e) Polarkoordinaten falls es keine Geschwindigkeitskomponente
parallel zum Magnetfeld gibt, Zylinderkoordinaten bei allgemeiner Gyration, (f)
kartesisch (konstantes Feld eignet sich gut zur Festlegung einer der Koordinatenachsen), (f)
Kugelkoordinaten (dann ist das Feld für festes r jeweils konstant, also unabhängig von ϑ und
ϕ).
Frage 6: die Ortsvektoren von P 1 und P 2 seien ⃗r 1 und ⃗r 2 . Dann geht gemäß Frage 4 die
Gerade ⃗g = ⃗r 1 + λ⃗r durch beide Punkte. Für λ = 0 ergibt sich P 1 , für λ = 1 ergibt sich P 2
und für λ = 1/2 ergibt sich der Mittelpunkt zwischen P 1 und P 2 .
Frage 7: denken Sie an ein Dreieck. Die Winkelhalbierende verbindet den Punkt eines Dreiecks
mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite; Lösung kann daher aus Frage 6 übernommen
werden.
Frage 8: der Mittelpunkt der Seite liegt bei ⃗a/2. Ein darauf senkrecht stehender Vektor ⃗s
lässt sich mit Hilfe des Skalarprodukts aus der Bedingung ⃗a · ⃗s = 0 bestimmen. Damit ergibt
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