Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 8
Matrizen
Quadratisch – praktisch – gut
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§ 1127 Der Stoff dieses Kapitels greift die Vektoren aus Kap. 1 und insbesondere die dort
gemachten mathematischen Anmerkungen auf. Dies ist nicht verwunderlich, da Vektoren nur
spezielle Matrizen sind. Formal sind Matrizen zwei-dimensionale Zahlenschemata der Form
n × m mit n Zeilen und m Spalten. Einen ersten Kontakt mit Matrizen werden viele von Ihnen
bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen gehabt haben. In der Physik tritt diese
Anwendung eher selten auf, hier werden Matrizen z.B. zur Beschreibung von Transformationen
und als Hilfsmittel bei der Lösung von Systemen gekoppelter Differentialgleichungen
verwendet.
§ 1128 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein
• elementare Rechenoperationen mit Matrizen durchzuführen (Addition, Multiplikation, Transponierte
und Inverse),
• Eigenwerte und -vektoren zu bestimmen und die Bedeutung dieser Größen mathematisch
angemessen darzustellen,
• Matrizen bei der Lösung physikalischer Probleme wie Transformationen oder gekoppelte
Differentialgleichungen zu verwenden.
8.1 Motivation
§ 1129 Aus der einführenden Bemerkung geht die Verwandschaft von Vektoren und Matrizen
bereits hervor. Entsprechend Kap. 1 zerfällt auch die Einleitung zu diesem Kapitel in zwei
Teile, einen eher physikalischen und einem mathematischen.
8.1.1 Mathematische Aspekte
§ 1130 Eine erste Berührung mit Matrizen erfolgt häufig im Zusammenhang mit linearen
Gleichungssystemen, d.h. einem Satz von m Gleichungen mit n Unbekannten, die gleichzeitig
zu lösen sind. Die Zusammenhänge zwischen den x i in den Gleichungen sind linear, d.h. die
Gleichungen enthalten keine Produkte x i x j oder höhere Potenzen x k i . Sind mehr Gleichungen
vorhanden als Unbekannte, m > n, so ist das Gleichungssystem überbestimmt; sind es
weniger Gleichungen als Unbekannte, m < n, so ist das Gleichungssystem unterbestimmt. In
letzterem Fall gibt es keine eindeutige Lösung sondern es verbleibt eine Gleichung, die den
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