Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

130 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.5: Satz von Rolle:
eine differenzierbare Funktion
f(x) nimmt an den Stellen a und
b den gleichen Funktionswert an:
f(a) = f(b). Dann gibt es ein
c ∈ (a, b) mit f ′ (c) = 0
Abbildung 4.6: Mittelwertsatz:
eine Funktion f(x) ist im Intervall
[a, b] differenzierbar. Dann
gibt es ein c ∈ (a, b) derart, dass
die Steigung f ′ (c) (rote Kurve)
gleich der Sekantensteigung
zwischen a und b (schwarze
Kurve) ist
Satz von Rolle
Satz 12 Ist eine Funktion f(x) in einem Intervall [a, b] differenzierbar und ist f(a) = f(b),
dann gibt es ein c ∈ (a, b) mit f ′ (c) = 0.
§ 507 Anschaulich besagt der Satz von Rolle 12, dass bei einer stetigen Funktion zwischen
zwei Stellen mit gleichem Funktionswert (z.B. zwei Nullstellen) stets ein Extremum liegen
muss, vgl. Abb. 4.5. Oder einfacher: lassen sich zwei Punkte einer stetigen Funktion mit einer
waagerechten Linie verbinden, so muss es zwischen diesen beiden Punkten mindestens einen
Punkt geben, an dem der Funktionsgraph eine waagerechte Tangente hat, d.h. in dem die
Tangente parallel zur Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten ist.
§ 508 Physikalisch können wir uns diesen Satz an Hand einer einfachen Bewegung veranschaulichen.
Ein Stein wird im Gravitationsfeld der Erde nach oben geworfen, seine Bewegung
ist durch die Funktion s(t) beschrieben. Zur Zeit kommt t 1 kommt er, immer noch steigend,
auf der Höhe s(t 1 ) = s 1 vorbei; zur Zeit t 3 kommt er, in Richtung Erde fallend, nochmals
an dieser Höhe vorbei: s(t 3 ) = s(t 1 ) = s 1 . Da die Flugbahn eines Steins stetig ist, muss
sie irgendwo zwischen diesen beiden Zeitpunkten ihr Maximum erreicht haben, d.h. es gibt
ein t 2 mit t 1 < t 2 < t 3 derart, dass s(t 2 ) ein Maximum (oder allgemeiner Extremwert) der
Funktion ist. In einem Extremum gilt aber ṡ = 0, d.h. es muss gelten ṡ(t 2 ) = 0. Das ist genau
die Aussage des Satzes von Rolle. Wir können die waagerechte Tangente am Extremum in
diesem Fall sogar anschaulich erläutern: der aufwärts fliegende Stein wird verzögert bis seine
Geschwindigkeit im Scheitelpunkt seiner Flugbahn verschwindet, d.h. ṡ(t 2 ) = 0. Anschließend
fällt er abwärts.
Mittelwertsatz
§ 509 Eine Verallgemeinerung des Satzes von Rolle ist der Mittelwertsatz:
Satz 13 Ist eine Funktion f(x) in einem Intervall [a, b] differenzierbar, so gibt es einen Wert
c ∈ (a, b) mit
f ′ (c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
§ 510 Der Mittelwertsatz (13) besagt, dass die Sekantensteigung in einem Intervall an mindestens
einem Punkt innerhalb des Intervall mit der Tangentensteigung identisch ist, vgl.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode