Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

172 KAPITEL 5. INTEGRATION
Integrationsregeln
§ 666 Die Integrationsregeln haben jeweils eine Entsprechung in den Ableitungsregeln. Während
Faktor- und Summenregeln trivial sind, erfordern Substitution und partielle Integration etwas
mehr Mühe.
• Faktorregel: ein konstanter Faktor lässt sich vor das Integral ziehen:
∫
∫
af(x) dx = a f(x) dx .
Das ist eine direkte Umkehrung der Faktorregel der Differentiation.
• Summenregel: das Integral über eine Summe ist gleich der Summe der Integrale über die
einzelnen Summanden:
∫
∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x) dx +
g(x) dx .
Summen- wie Faktorregel folgen aus der Linearität der Integration:
∫
∫
∫
a [f(x) + g(x)] dx = af(x) dx + ag(x) dx .
• Substitutionsmethode: Ziel der Substitutionsmethode ist es, die zu integrierende Funktion
f(x) durch Einführung einer neuen Variablen zu vereinfachen. Drückt man einen Teil der
zu integrierenden Funktion, z.B. eine innere Funktion, durch eine neue Variable aus, so
lässt sich die Substitutionsregel schreiben als
∫
∫
f(g(x)) dx =
f(u) du
u ′ mit u = g(x) und du = u ′ dx bzw. dx = du
u ′ .
Die Gültigkeit dieser Regel sehen wir, wenn wir den rechten Term der oberen Gleichung
nach x differenzieren: durch Anwendung der Kettenregel hebt sich dann die innere Ableitung
u ′ wieder heraus.
• partielle Integration (Produktintegration): während sich das Produkt zweier Funktionen
über die Produktregel differenzieren lässt, ist ein solches Produkt nicht unbedingt einfach
zu integrieren. Ist für eine der Funktionen eine Stammfunktion erkennbar, so kann man
die partielle Integration verwenden: 1
∫
∫
f ′ (x) g(x) dx = f(x) g(x) − f(x) g ′ (x) dx . (5.4)
Hierbei ist h(x) = f ′ (x) g(x) die zur Integration vorgegebene Funktion. Die partielle Integration
ist nur sinnvoll, wenn das Restintegral ∫ f(x)g ′ (x) dx einfacher lösbar ist als das
Ausgangsintegral – oder in geeigneter Weise mit diesem zusammen gefasst werden kann
(für ein Beispiel siehe § 668).
§ 667 Integration mittels Substitution und partielle Integration sind gebräuchliche Verfahren.
Das ist einsichtig, da Kettenregel und Produktregel beim Differenzieren von in der Physik
verbreiteten Gleichungen häufig auftreten. Also werden auch die Umkehrungen sich einer
gewissen Beliebtheit erfreuen. Beispiele zu beiden Verfahren finden Sie in Abschn. C.3.2;
lediglich für die partielle Integration ist hier im Haupttext ein Beispiel gegeben, das Sie darauf
hinweisen soll, dass sich eine Lösung manchmal erst nach zweimaliger Anwendung des
Verfahrens ergibt.
1 Diese ist eine Umkehrung der Produktregel der Differentiation. Differenzieren wir die Funktion h(x) =
f(x)g(x) nach x, so erhalten wir nach Produktregel [f(x)g(x)] ′ = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x). Integration über dx
liefert
Z Z
Z
[f(x)g(x)] ′ dx = f(x)g(x) = [f ′ (x)g(x)] dx + [f(x)g ′ (x)] dx
und damit nach Umstellen die in (5.4) gegebene Vorschrift.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode