Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

186 KAPITEL 5. INTEGRATION
5.5.2 Trapezformel
§ 723 Bei der Trapezformel wird das Integral durch Trapeze der Breite ∆x und der durch
die Funktionswerte an den Intervallrändern gegebenen Höhen zusammen gesetzt:
M∑ 1
I T =
2 (f(x k) + f(x k−1 )) ∆x .
k=1
§ 724 Die Regeln für die numerische Integration in MatLab entsprechen denen bei der Mittelpunktsformel.
Dort ist nur die zweite Zeile (Vektor der Punkte, an denen der Funktionswert
zu nehmen ist und Verfahren der Bestimmung der Fläche) zu ersetzen durch
x=[a:deltx:b];
for k=1:M;
y(k)=(3*x(k)*x(k) +2 + 3*x(k+1)*x(k+1) + 2)*deltx/2;
end
und wir erhalten als Ergebnis 60.0004, ebenfalls in guter Übereinstimmung mit dem in § 720
gefundenen analytischen Wert. Die Abhängigkeit des Ergebnis von der Schrittweite ist in
folgender Tabelle gegeben:
M 1 2 5 10 20 50 100 200 500
∆x 2 1 0.4 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.004
I 64 61 60.16 60.04 60.01 60.0016 60.0004 60.0001 60.0000
feval
§ 725 In der neu eingesetzten Zeile zur Berechnung des Flächenstücks ist die Funktion zweimal
explizit angegeben. Hier ist eine alternative Codierung zu empfehlen, bei der die Funktion
über einen Handle definiert und mit feval ausgewertet wird:
x=[a:deltx:b];
fhandle = @(x) 3*x.*x +2;
for k=1:M;
y(k) = (feval(fhandle,x(k))+feval(fhandle,x(k+1)))*deltx/2;
end
§ 726 Mit dieser Vorübung können wir statt eines Skripts eine Funktion trapezfunk schreiben,
die die Integration gemäß Trapezformel ausführt:
function I = trapezfunk(f,a,b,M)
deltx=(b-a)/M; x=[a:deltx:b];
for k=1:M;
y(k) = (feval(f,x(k))+feval(f,x(k+1)))*deltx/2;
end
I=sum(y);
§ 727 Diese Funktion kann aus einem Skript oder dem MatLab Befehlsfenster heraus aufgerufen
werden. In beiden Fällen müssen die zu übergebenden Parameter vorher vereinbart
werden. Für den Aufruf aus dem Kommandofenster heraus könnte dies wie folgt aussehen:
>> a=2; b=4; M=100; fun = @(x) 3*x.*x +2;
>> I=trapezfunk(fun,a,b,M)
I =
60
§ 728 Der Vorteil der Darstellung als eine Funktion ist offensichtlich: jetzt müssen Integrationsgrenzen,
Schrittzahlen oder die zu integrierende Funktion nicht mehr im m-File geändert
werden sondern nur in der ersten Eingabezeile im Befehlsfenster bzw. falls die Funktion
trapezfunk aus einem m-File aufgerufen wird in diesem.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode