Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

274 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 1029 Hier dagegen werden wir uns eines Tricks bedienen, der für dieses spezielle Problem
recht gut funktioniert. Betrachten wir noch einmal die Bewegungsgleichung. Diese besteht
aus zwei Termen, dem Einfluss des elektrischen Feldes und dem des magnetischen. Betrachten
wir nur das elektrische Feld, so erhalten wir DGLs der Form ˙v i = qE i /m. Das elektrische
Feld ist konstant, d.h. wir betrachten eine beschleunigte Bewegung in einem konstanten Feld.
Das entspricht dem freien Fall aus § 883, d.h. das mathematische Problem haben wir dort
schon gelöst.
§ 1030 Daher vernachlässigen wir das elektrische Feld in der Bewegungsgleichung erst einmal
und wenden uns dem formal anspruchsvolleren Teil, der Bewegung im magnetischen
Feld, zu. Unser Koordinatensystem wählen wir so, dass das magnetische Feld entlang der
z-Achse orientiert ist: ⃗ B = (0, 0, B) = B⃗e z (siehe auch § 134 und Verständnisfrage 6). Die
Bewegungsgleichung reduziert sich damit auf
m ˙v x = qBv y , m ˙v y = −qBv x , und m ˙v z = 0 .
Die letzte Gleichung lässt sich direkt integrieren: v ‖ = v z = const, d.h. die Bewegung parallel
zum Magnetfeld erfolgt mit konstanter Geschwindigkeit v z .
§ 1031 Damit verbleiben noch zwei gekoppelte DGLs erster Ordnung. Mit einem mathematischen
Trick lassen sich daraus zwei von einander unabhängige DGLs zweiter Ordnung.
Dazu differenzieren wir jeder der DGLs und setzen sie in die jeweils andere ein:
¨v x = qB ( ) 2 qB
m ˙v y = − v x und ¨v y = − qB ( ) 2 qB
m
m ˙v x = − v y .
m
Beide Gleichungen beschreiben eine Schwingung mit der Zyklotronfrequenz
ω c = |q|B
m .
Diese Schwingungen in der x- und y-Ebene überlagern sich zu einer Kreisbewegung mit den
Geschwindigkeitskomponenten
v x (t) = r L ω c cos ω c t und v y (t) = −r L ω c sin ω c t (7.40)
und den Ortskoordinaten
r x (t) = r L sin ω c t und r y (t) = r L cos ω c t ,
Darin ist r L der Larmor Radius des Teilchens,
r L = v ⊥
= mv ⊥
ω c |q|B ,
√
und v ⊥ = vx 2 + vy
2 = r L ω c die Teilchengeschwindigkeit senkrecht zum Magnetfeld. Die
Richtung der Teilchenbewegung hängt vom Vorzeichen der Ladung ab und gehorchen der
Lenz’schen Regel: der mit der Bewegung der Ladung verbundene Kreisstrom erzeugt ein
Magnetfeld, dass dem externen Magnetfeld B ⃗ entgegen gesetzt ist. Ein Elektron folgt der
Rechte Hand Regel: zeigt der Daumen der rechten Hand entlang des Magnetfeldes, so weisen
die gekrümmten Finger in Richtung der Elektronengyration.
7.9 Numerische Verfahren
§ 1032 In diesem Abschnitt werden einige grundlegende numerischen Verfahren zur Lösung
von Differentialgleichungen vorgestellt; die Realisierung dieser Verfahren in MatLab wird in
Abschn. 7.10 beschrieben. Die hier vorgestellten Verfahren haben jeweils eine Entsprechung
in den verschiedenen in Abschn. 5.5 vorgestellten Verfahren zur numerischen Integration. Wie
die numerische Integration von Funktionen liefert auch die numerische Integration von Differentialgleichungen
nur Annäherungen an die Lösung, nicht jedoch die exakte Lösung. Und so,
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode