Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

540 ANHANG C. ERSTE HILFE
Differenzieren
Aufgabe 297 * Leiten Sie die folgenden Funktionen ab:
(a) f(x) = 0.6x 3 − 1.5x 2 + 4.7 , (b) g(t) = −t 2 − 5 t + t ,
(c) f(x) = (100 − 4x 2 + 3x)(1 + 2x 2 ∑
) , (d) g(x) = n a k x k ,
(e) t(r) = r 2 ln r , (f) h(u) = u2 +1
u 2 −1 ,
(g) f(x) = √ 1 − x 2 , (h) g(x) =
1
5√
(2+3x) 2 ,
(i) f(x) = e x2 , (j) f(x) = 3x 2 · ln x ,
(k) f(x) = 3x 4 − x 2 + 1 x , (l) r(m) = 3m2 −4
5m ,
(m) d(b) = 2 b − 3 ∑
2 xb4 , (n) f(x) = n
k=0
i=0
i
x i ,
x
(o) f(x) = 2 sin x · cos x , (p) f(x) =
√
sin x+cos x ,
a
(q) f(x) =
2 −x 2
a 2 +x
, (r) f(x) = 1−cos2 x
2 1+cos 2 x ,
(s) f(x) = ln x
x √
, (t) f(x) = esin(ωx+φ) ,
2x−3
(u) f(x) = ln
2x+3 , (v) f(x) = ln 4√ sin 3 x cos 3 x ,
(w) f(x) = e ax , (x) f(x) = a ex .
Aufgabe 298 * Aus einem 36 cm langen Draht soll das Kantenmodell einer Säule mit
quadratischer Grundfläche hergestellt werden. Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit
die Säule ein maximales Volumen hat?
Aufgabe 299 ** Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 12 cm und 8 cm lang.
Diesem Dreieck ist ein möglichst großes Rechteck einzuschreiben, von dem zwei Seiten auf
den Katheten des Dreiecks liegen.
Aufgabe 300 ** Einem gleichseitgen Dreieck der Seitenlänge 6 cm ist ein Rechteck so
einbeschrieben, dass eine Rechteckseite auf einer Dreieckseite liegt. Wie lang sind die Rechteckseiten
zu wählen, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat?
Aufgabe 301 ** Aus einem rechteckigen Stück Blech gegebener Länge und der Breite 49 cm
soll eine gleich lange Röhre mit möglichst großem rechteckigen Querschnitt gewonnen werden.
Aufgabe 302 ** Ein Kegel soll bei einer 12 cm langen Seitenkante ein möglichst großes
Volumen bekommen.
Aufgabe 303 * Ein Rechteck soll den Flächeninhalt 10 cm 2 erhalten. Wie lang sind die
Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck minimalen Umfang hat?
Aufgabe 304 *** In einen geraden Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r und der Höhe
h soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden. Auf der Deckfläche
dieses maximalen Zylinders soll dem ‘Restkegel’ erneut ein Zylinder größten Volumens
einbeschrieben werden.
Aufgabe 305 ** Einer Kugel (Halbkugel) soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen
einbeschrieben werden.
Aufgabe 306 ** Einer Halbkugel soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche einbeschrieben
werden. Wie sind die Maße des Quaders zu wählen, damit sein Volumen möglichst
groß wird.
Aufgabe 307 ** Welcher oben offene Zylinder hat bei gegebener Oberfläche ein möglichst
großes Volumen?
Aufgabe 308 ** Ein Gefäß besteht aus einem Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Welche
Form muss es haben, damit es ohne Deckel bei gegebener Oberfläche ein möglichst großes
Volumen hat?
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode