Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

230 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
mit v 0 als der Integrationskonstanten aus dem ersten Integrationsschritt und s 0 als Integrationskonstante
des zweiten Integrationsschritts.
§ 884 Probieren wir es mit anderen Kräften. Eine von der Geschwindigkeit abhängige Kraft
ist die Reibungskraft −βv mit β als dem Reibungskoeffizienten. Die Differentialgleichung für
die Geschwindigkeit ist
m ˙v = −βv oder ˙v = −δv mit δ = β/m .
Diese Differentialgleichung ist formal identisch mit der des radioaktiven Zerfall (7.1). Dann
muss auch in diesem aus einem ganz anderen Bereich stammenden physikalischen Problem
die Lösung eine Exponentialfunktion sein, d.h. die Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit ab
gemäß
v(t) = v 0 e −δt .
§ 885 Stellt man bei der verzögerten Bewegung nicht die DGL für die Geschwindigkeit sondern
die für den Ort auf, so ergibt sich
mẍ = −βv .
Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, jedoch lässt sie sich
im Gegensatz zu (7.2) nicht direkt integrieren, da die rechte Seite keine Konstante ist sondern
ihrerseits wieder von t abhängt:
mẍ = −βv(t) = −βẋ . (7.3)
Diese DGL verknüpft die erste und zweite Ableitung einer Funktion miteinander ohne die
Funktion zu enthalten. Zur Lösung empfiehlt sich Substitution von ẋ = v und dann weiter
wie bei der Lösung der DGL für die Geschwindigkeit. Allerdings muss jetzt in einem zweiter
Schritt die Substitution ẋ = v durch Integration rückgängig gemacht werden:
∫
ẋ = v 0 e −γt ⇒ x(t) = v 0 e −γt dt = −γv 0 e −γt + x 0 .
§ 886 Als dritte Kraft wählen wir die Rückstellkraft einer Feder −kx. Einsetzen in die Bewegungsgleichung
liefert
mẍ = −kx oder ẍ = −ω 2 0x mit ω 2 0 = k/m .
Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, da neben der Funktion
die zweite Ableitung der Funktion auftritt. Im Gegensatz zu (7.3) lässt sich diese DGL auch
nicht auf eine DGL erster Ordnung reduzieren.
§ 887 Die DGL ẍ = −ω 2 0x besagt, dass die zweite Ableitung der gesuchten Funktion wieder
diese Funktion ergibt, allerdings mit negativem Vorzeichen. Dieses Verhalten zeigen die
Winkelfunktionen Sinus und Kosinus. An Hand der DGL alleine ist es nicht möglich, einer
der beiden Funktionen den Vorzug zu geben, die allgemeine Lösung ist daher die Summe
x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) .
Darin sind A und B Integrationskonstanten: da bei einer DGL zweiter Ordnung zweimal
integriert wird, gibt es zwei Integrationskonstanten wie bereits am Beispiel in § 883 deutlich
wurde. Diese Integrationskonstanten lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen.
Physikalisch ist die Lösung durch Winkelfunktionen ebenfalls sinnvoll, da eine Masse an
einer Feder ein Federpendel bildet. Die Bewegung ist also periodisch, wie auch die Winkelfunktionen.
§ 888 Die Bewegungsgleichung enthält auf der rechten Seite alle auf den Körper wirkenden
Kräfte. Das sind bei einem senkrecht hängenden Federpendel neben der Rückstellkraft −kx
auch die Gravitationskraft −mg und die Reibungskraft −βv, so dass sich eine DGL der Form
mẍ = −kx − βv − mg
ergibt. Die Lösungen dieser DGL lassen sich nicht so leicht erraten; allerdings gibt es einfache
Lösungsverfahren derartiger DGLs. Diese werden im Verlauf des Kapitels vorgestellt.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode