Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

306 KAPITEL 8. MATRIZEN
Zusammenhang zwischen den n−m+1 verbleibenden Variablen bestimmt. Ist das Gleichungssystem
dagegen überbestimmt, so gibt es eine eindeutige Lösung falls nur n der Gleichungen
linear unabhängig sind; ist das nicht der Fall, so ist keine eindeutige Lösung möglich, da die
aus n der Gleichungen bestimmte eindeutige Lösung die anderen Gleichungen nicht löst.
§ 1131 Beschränken wir uns also auf n Gleichungen mit n Unbekannten. Für n = 3 lässt
sich das entsprechende Gleichungssystem schreiben als
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = c 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = c 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = c 3 .
Für ein derartiges Gleichungssystem gibt es zwei einfache Lösungsverfahren:
• eine Gleichung wird nach einer der Unbekannten x i aufgelöst und in die anderen beiden
Gleichungen eingesetzt. Übrig bleiben zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Von diesen
kann wieder eine nach einer der verbliebenen Unbekannten aufgelöst und in die andere
Gleichung eingesetzt werden, so dass eine Gleichung mit einer Unbekannten verbleibt.
• die Gleichungen werden mit geeigneten Faktoren multipliziert und paarweise derart addiert,
dass zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten übrig bleiben. Mit diesen wird das Verfahren
wiederholt, so dass eine Gleichung mit einer Unbekannten verbleibt.
Beiden Verfahren ist gemein, dass sie das Gleichungssystem schrittweise um jeweils eine Gleichung
und eine Unbekannte reduzieren. Für große Zahlen von Gleichungen und Unbekannten
ist das ein Zeit raubendes und aufwendiges Verfahren.
§ 1132 Matrizen bieten hier schnelle Hilfe. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem um.
Die Unbekannten x i können wir in einem Vektor zusammen fassen, ebenso die Konstanten
c i auf der rechten Seite:
⎛
⃗x = ⎝ x ⎞
⎛
1
x 2
⎠ sowie ⃗c = ⎝ c ⎞
1
c 2
⎠ .
x 3 c 3
Die Koeffizienten a ij des Gleichungssystems lassen sich in einer 3 × 3-Matrix zusammen
fassen:
⎛
A = ⎝ a ⎞
11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
⎠ .
a 31 a 32 a 33
Das Gleichungssystem lässt sich damit schreiben als
A⃗x = ⃗c .
Das ist eine lineare Gleichung mit einem Unbekannten Vektor ⃗x. Diesen erhalten wir, wenn wir
die Multiplikation mit der Matrix A durch Multiplikation mit ihrem Inversen A −1 ‘rückgängig’
machen:
⃗x = A −1 A⃗x = A −1 ⃗c da A −1 A = 1 .
Der Prozess der Lösung des linearen Gleichungssystems ist damit auf damit auf die Inversion
der Matrix A reduziert.
8.1.2 Physikalische Aspekte
§ 1133 Lineare Gleichungssysteme treten in der Physik zwar auch auf, z.B. in der Analyse
von elektrischen Netzen, allerdings bilden sie nicht das Hauptanwendungsfeld für Matrizen.
Der interessantere Aspekt ist die Verwendung von Matrizen zur Beschreibung von Transformationen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode