Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

314 KAPITEL 8. MATRIZEN
Jeder Komponente (AB) ij des Ergebnis ergibt sich als das Produkt aus dem i-ten Zeilenvektor
⃗a i von A multipliziert mit dem j-ten Spaltenvektor ⃗ b j von B.
Definition 72 Matrixmultiplikation C = AB setzt woraus, dass die Matrizen die Form m ×
n und n × o haben; ihr Produkt hat die Form m × o. Die Werte von c ij kann man als
Skalarprodukt aus dem Vektor der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B verstehen:
C = AB mit c ij = ∑ k
a ik b kj .
Auf Grund der Anforderungen an die Formen der Matrix kann die Matrixmultiplikation
nicht kommutativ sein. Lediglich bei quadratischen Matrizen wäre zumindest die formalen
Anforderungen für Kommutativität gegeben, allerdings sind auch quadratische Matrizen in
der Regel nicht kommutativ.
§ 1163 Als schnelle Zwischenrechnung betrachten wir das Produkt aus einer Matrix A und
ihrer Transponierten
⎛
C = A A T = ⎝ 1 2 3
⎞ ⎛
4 5 6 ⎠ ⎝ 1 4 7
⎞ ⎛
⎞
14 32 50
2 5 8 ⎠ = ⎝ 32 77 122 ⎠ . (8.2)
7 8 9 3 6 9 50 122 194
Entsprechend der Multiplikationsregel kann z.B. das Element c 11 als Skalarprodukt des Zeilenvektors
a 1i der ersten mit dem Spaltenvektor a j2 der zweiten Matrix interpretiert werden:
⎛ ⎞
c 11 = ( 1 2 3 ) ·
⎝ 1 2 ⎠ = 1 + 4 + 9 = 14 . (8.3)
3
Entsprechendes gilt für die anderen Elemente der Produktmatrix. Wird diese spezielle Matrix
mit ihrer Transponierten multipliziert, ergibt das Produkt eine symmetrische Matrix.
Verständnisfrage 19 Gilt die Aussage, dass das Produkt aus einer Matrix und ihrer Transponierten
symmetrisch ist, allgemein? Begründen Sie.
Verständnisfrage 20 Lässt sich das Produkt aus einer Matrix und ihrer Transponierten
auch bei nicht-quadratischen Matrizen bilden?
Rechenregeln für die Matrixmultiplikation
§ 1164 Die Rechenregeln für Matrizen entsprechen denen einer abelschen Gruppe bezüglich
der Addition. Bezüglich der Multiplikation entsprechen die Rechenregeln für Matrizen zwar
denen einer Gruppe, jedoch nicht denen einer abelschen Gruppe, d.h. die Matrixmultiplikation
ist nicht kommutativ. Damit hat die Matrixmultiplikation die folgenden Eigenschaften:
• es gilt das Assoziativgesetz
A(BC) = (AB)C = ABC
• für die Matrixmulitplikation gilt das Kommutativgesetz nicht, d.h.
AB ≠ BA .
Für eine quadratische Matrix wird der in der Quantenmechanik häufig verwendete Kommutator
definiert:
[A, B] = AB − BA .
§ 1165 Da Verknüpfung der beiden Operationen Addition und Multiplikation erfolgt durch
ein Distributivgesetz
A(B + C) = AB + AC und (A + B)C = AC + BC .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode