Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

232 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
tiven Zerfall in § 880, der DGL zweiter Ordnung im Zusammenhang mit der Beschreibung des
Federpendels in § 886ff, der homogenen DGL beim Zerfall sowie bei der Bewegungsgleichung
bis einschließlich § 888 sowie der inhomogenen DGL in § 889. Diese Klassifikation soll hier
formalisiert werden, allerdings unter einer Einschränkung: im Rahmen dieses Skripts werden
wir uns auf lineare DGLs beschränken: (1) die Funktion x(t) und ihre Ableitungen x (n) (t)
dürfen nur in erster Ordnung auftreten, nicht jedoch als höhere Potenzen; (2) es dürfen keine
Produkte der Form x(t)x (k) (t) oder x (l) (t)x (k) (t) mit k, l ∈ N und k, l ≤ n auftreten. Linearität
einer DGL ist gleichbedeutend mit der Gültigkeit des Superpositionsprinzips, vgl.
Abschn. 7.7.1.
7.2.1 Definition und Begriffe
§ 895 Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Bestimmungsgleichung für eine Funktion
einer Variablen. Die Ordnung der Differentialgleichung ist bestimmt durch die höchste
auftretende Ableitung:
Definition 59 Eine Gleichung, in der gewöhnliche Ableitungen einer unbekannten Funktion
x(t) bis zur n ten Ordnung auftreten, heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung n ter
Ordnung.
§ 896 Die Ordnung einer Differentialgleichung ist bestimmt durch die höchste auftretende
Ableitung: eine gewöhnliche Differentialgleichung n ter Ordnung enthält als höchste Ableitung
die n te Ableitung x (n) (t) der unbekannten Funktion x(t). Sie kann ferner auch Ableitungen
niedrigerer Ordnung sowie die Funktion x(t) und deren unabhängige Variable t enthalten.
§ 897 Wie Funktionen können DGLs in impliziter oder expliziter Form dargestellt werden.
In impliziter Form lässt sich eine DGL n ter Ordnung schreiben als
F (t, x, ẋ, ẍ, ..., x (n) ) = 0 .
In dieser Darstellung ist das Auftreten der unabhängigen Variablen t bereits berücksichtigt,
d.h. der Ausdruck stellt nicht nur die homogene DGL dar sondern kann auch eine inhomogene
beschreiben. Ist die implizit dargestellte DGL nach der höchsten Ableitung x (n) auflösbar, so
ergibt sich die explizite Form
x (n) = f(t, x, ẋ, ẍ, ...., x (n−1) ) .
§ 898 Einige Beispiele für gewöhnliche Differentialgleichungen sind bereits in Abschn. 7.1.1
gegeben. Sie haben Formen wie
x(t) = c ẋ , ẋ(t) = −cẍ oder x(t) = c 1 ẋ + c 2 ẍ + c 3 x (3) + ... .
Weitere Beispiele, allerdings immer wieder mit verwandter Form, werden wir in Abschn. 7.8
kennen lernen.
§ 899 Da eine Differentialgleichung eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion
ist, sind ihre Lösungen Funktionen. Die folgende Definition gibt zugleich den Hinweis,
wie überprüft werden kann, ob eine Funktion Lösung der DGL ist:
Definition 60 Eine Funktion x(t) ist Lösung oder Integral der Differentialgleichung, wenn
sie mit ihren Ableitungen die Differentialgleichung identisch erfüllt.
§ 900 Die Lösung einer Differentialgleichung wird durch Integration bestimmt. Dieses Integral
enthält Integrationskonstanten, deren Zahl durch die Ordnung der Differentialgleichung
– und damit die Zahl der Integrationsschritte – bestimmt ist. Daher hat eine DGL n ter
Ordnung eine allgemeine Lösung, die noch n voneinander unabhängige Parameter (Integrationskonstanten)
enthält.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode