Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.6. KOMPLEXE ZAHLEN IN MATLAB 225
Aufgaben
Rechentechnik
Aufgabe 93 Wandeln Sie in kartesische Form um und bilden Sie die konjugiert komplexe
Zahl:
z 1 = 4(cos 1 + i sin 1) , z 4 = 5(cos(−60 ◦ ) + i sin(−60 ◦ )) ,
z 7 = 2(cos 210 ◦ + i sin 210 ◦ ) , z 8 = cos(−0.5) + i sin(−0.5) ,
z 2 = 3 e i30◦ , z 3 = 5 e i135◦ ,
z 5 = 2 e i3π/2 , z 6 = e i240◦ .
Aufgabe 94 Bestimmen Sie Betrag und Phasenwinkel der komplexen Zahlen:
z 1 = 5i , z 2 = 5 + 2i , z 3 = −5 − 6i ,
z 4 = 3(cos 60 ◦ − i sin 60 ◦ ) , z 5 = 4 − 5i , z 6 = −9 e i30◦ .
Aufgabe 95 Berechnen Sie das Endergebnis in kartesischer Form:
z =
3i [ ( ) ( )]
2π 2π
2 + i + 4 cos + i sin + 5 e i120◦ .
3
3
Aufgabe 96 Bestimmen Sie Produkt und Quotient zweier komplexer Zahlen mit R(Z 1 ) = 4,
R(Z 2 ) = −3, I(Z 1 ) = −2 und I(Z 2 ) = 1.
Aufgabe 97 Berechnen Sie diese Potenzen in kartesischen und in Polarkoordinaten:
z 1 = (1 + i) 2 , z 2 = (4 − 6i) 4 , z 3 = (2 e −i30◦ ) 8 ,
z 4 = (−4 − 3i) 5 , z 5 = [(3 + i)/(2 − i)] 3 , z 6 = (5 e iπ ) 5 .
Aufgabe 98 Wie lauten die Lösungen der folgenden Gleichungen? Skizzieren Sie die Lage
der Zeiger in der Gauß’schen Zahlenebene.
z 3 = i , z 4 = 16 e i160◦ , z 5 = 3 − 4i .
Aufgabe 99 Berechnen Sie allgemein die n te Wurzel von z 1 = 1 und z 2 = −1 und zeichnen
Sie die Ergebnisse für n = 3 und n = 4 in der Gauß’schen Zahlenebene.
Aufgabe 100 Von der Gleichung x 4 −2x 3 +x 2 −2 = 0 ist eine (komplexe) Lösung x 1 = 1+i
bekannt. Wie lauten die übrigen Lösungen?
Aufgabe 101 Gegeben sind die beiden komplexen Vektoren ⃗a = (2 + 4i, 4 − 3i, i) und ⃗ b =
(−1 + i, −1 − i, 4i). Zerlegen Sie beide Vektoren in ihren Real- und Imaginärteil und bilden
Sie ihre Summe, ihre Differenz und ihre Produkte.
Aufgabe 102 Integrieren Sie
∫
sin 4 x dx .
Aufgabe 103 Bestimmen Sie das Integral
∫
sin 3 x cos x dx .
Aufgabe 104 Lösen Sie die Integrale aus Zwischenrechnung 24 und 25 durch Anwendung
der Euler’schen Formel. Vergleichen Sie mit dem Aufwand der vorher verwendeten Verfahren.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007