Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.7. MATLAB: DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN II 113
§ 453 Nicht auf diese Weise anzupassen ist der Begriff der Monotonie, da dieser gemäß
Def. 28 auf einer Anordnung der unabhängigen Variablen basiert: für x 1 < x 2 wird die
Relation der Funktionswerte betrachtet. Bei einer Funktion mehrere Variablen lässt sich im
Prinzip eine entsprechende Definition in jeder der unabhängigen Variablen vornehmen. Das
wäre zwar mathematisch einfach, die Anwendbarkeit wäre jedoch zu beschränkt, insbesondere
im Hinblick auf die Existenz eines Grenzwerts.
Grenzwert
§ 454 Die direkte Definition eines Grenzwerts nimmt Anleihe bei Funktionen einer Variablen
oder bei Folgen und Reihen. Ein Grenzwert lässt sich dann für eine Funktion von zwei
Variablen definieren als
Definition 37 Die Funktion z = f(x, y) hat an der Stelle (x, y) = (a, b) den Grenzwert
lim f(x, y) = g
x→a,y→b
wenn sich die Funktion f(x, y) bei gleichzeitiger unbegrenzter Annäherung von x an a und y
an b unbegrenzt an g nähert. f(x, y) muss an der Stelle (a, b) den Wert g nicht annehmen
und dort auch nicht definiert sein.
Diese Definition lässt sich direkt auf eine größere Zahl unabhängiger Variablen erweitern.
Gleiches gilt auch für die folgenden Definitionen.
§ 455 Die gleichzeitige Annäherung in den beiden unabhängigen Variablen a und b bedeutet,
dass der Abstand zwischen dem aktuellen Punkt (x, y) und dem Punkt (a, b) immer kleiner
wird. Anschaulich zieht sich der Kreis um (a, b) also immer enger zusammen, daher auch
der bereits früher verwendete Begriff des Konvergenzradius. Diese Interpretation wird bei
Verwendung des ε, δ-Kriterium noch deutlicher:
Definition 38 Die Funktion z = f(x, y) besitzt an der Stelle (x, y) = (a, b) den Grenzwert
z 0 , wenn es für alle ε > 0 ein δ > 0 gibt derart, dass |f(x, y) − z| < ε für alle a, b ∈ R mit
|(x − a) 2 + (y − b) 2 | < δ.
§ 456 Die Verwendung des ε, δ-Kriteriums in der Definition des Grenzwertes hat den Charme,
dass die Definition nahezu wörtlich für Funktionen einer beliebigen Anzahl unabhängiger
Variablen übernommen werden kann: lediglich der Abstand der unabhängigen Variablen muss
entsprechend definiert werden.
Stetigkeit
§ 457 Die Definition der bei Funktionen mehrere Variablen folgt direkt derer für Funktionen
einer Variablen (vgl. Def. 32):
Definition 39 Eine in (a, b) und einer Umgebung von (a, b) definierte Funktion f(x, y) heißt
stetig an der Stelle (a, b), wenn der Grenzwert der Funktion in (a, b) existiert und mit dem
Funktionswert übereinstimmt:
lim = f(a, b) .
x→a,y→b
Alle Folgerungen aus dem Begriff der Stetigkeit lassen sich sinngemäß von den Funktionen
einer Variablen auf die mehrerer Variablen übertragen.
3.7 MatLab: Darstellung von Funktionen II
§ 458 Funktionen von mehreren Variablen lassen sich auf Grund der Beschränktheit unserer
Wahrnehmung nur in geringem Maße darstellen: für Funktionen in Abhängigkeit von zwei
Variablen kann der Funktionsgraph als eine Fläche im dreidimensionalen Raum dargestellt
werden, für die parametrische Darstellung einer Funktion im 3D kann diese als Bahn dargestellt
werden.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007