Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

552 ANHANG D. LÖSUNGEN ZU FRAGEN UND AUFGABEN
Kapitel 4
Kapitel 5
Zwischenrechnung 24: Mit dem Hinweis lässt sich das Integral umschreiben als
∫
∫
∫
∫
sin 3 x dx = sin x(1 − cos 2 x) dx = sinx dx − sin x cos 2 x dx .
Das erste Integral lässt sich direkt ausführen, im zweiten Integral ist der Sinus die innere
Ableitung des cos 2 -Terms, d.h. das Integral ergibt (cos 3 x)/3 – falls Sie das nicht erkennen
können, lösen Sie dieses Integral durch Substitution u = cos x! Damit ergibt sich
∫
sin 3 x dx = cos3 x
− cos x + C .
3
Zwischenrechnung 25: eine der beiden Funktionen ist die Ableitung der anderen, d.h. wir
können entweder direkt erkennen
∫
cos x sin x dx = 1 2 sin2 x + C
oder wir machen die Substitution u = sin x und integrieren nach Substitutionsmethoden mit
dx = du/ cos c:
∫
∫
cos x sin x dx = − u cos x
du
cos x = −1 2 u2 + C = 1 2 sin2 x + C .
Alternativ können wir die Substitution u = cos x versuchen und erhalten mit du/(− sin x) =
dx
∫
∫
cos x sin x dx = − u sin x du
sin x = −1 2 u2 + C = − 1 2 cos2 u + C .
Welche der beiden Lösungen ist richtig? Wegen sin 2 x + cos 2 x = 1 unterscheiden sich beide
Lösungen um eine additive Konstante, nämlich 1/2. Beim unbestimmten Integral ist diese
additive Konstante irrelevant, da sie sich in der Integrationskonstante verstecken lässt, beim
bestimmten Integral interessiert nur die Differenz der Funktionswerte an den Intergationsgrenzen:
da beide Funktionswerte um die gleiche additive Konstante verschoben sind, bleibt
ihre Differenz erhalten.
Kapitel 6
Frage 68
Frage 69 Die Verwendung eines komplexen Arguments ändert an der Herleitung nichts, da
wir die Exponentialfunktion zerlegen können in ein Produkt e ω+iϕ = e ω e iϕ . Der Faktor e ω ist
eine reelle Konstante und lässt sich bei der Taylor Entwicklung ausklammern. Als Ergebnis
erhalten wir
e ω+iϕ = e ω (cos ϕ + i sin ϕ) .
Frage 70 Für das Additionstheorem
cos(β + γ) = cos β cos γ − sin β sin γ
die Winkelfunktionen auf der rechten Seite mit Hilfe der Exponentialfunktion gemäß (6.9)
und (6.10) ausdrücken:
cos β cos γ − sin β sin γ = 1 2
(
e iβ + e −iβ) 1 (
e iγ + e −iγ) − 1 (
e iβ − e −iβ) 1 (
e iγ − e −iγ)
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13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode