Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

192 KAPITEL 5. INTEGRATION
Abbildung 5.10: Entwicklung des Ergebnisses
für π mit zunehmender Zahl von
Reiskörnern
Abbildung 5.11: Variation des Ergebnisses von π mit zunehmender Zahl von Reiskörnern
Reiskörner interpretieren. In der folgenden Zeile wird der Abstand jedes Punktes vom Ursprung
bestimmt, in der folgenden Zählschleife wird für jeden Wert überprüft ob er im Kreis
liegt und wenn ja wird der Zähler z um 1 hoch gesetzt. Die folgende Zeile berechnet π und
wandelt die Variable in einen String um, der in der anschließenden Plotroutine benötigt wird.
Ein Beispiel für das so bestimmte π ist in Abb. 5.9 gezeigt.
§ 752 Abbildung 5.10 zeigt ein Beispiel für die Entwicklung des Ergebnisses für π mit zunehmender
Zahl von Reiskörner. Für kleine Reiskornzahlen können die Abweichungen groß
werden: mit einem einzigen Reiskorn ist das Ergebnis entweder Treffer oder Fehlschuss; oder
in Zahlen: 0 oder 4. Mit dem zweiten Reiskorn können wir zwei, einen oder keinen Treffer
haben; oder in Zahlen: 0, 2 oder 4. Im Beispiel in Abb. 5.10 liefert das erste Reiskorn einen
Treffer in den Kreis, das nächste lag daneben, die folgenden acht trafen wieder. Daher ergibt
sich mit den ersten zehn Reiskörnern für π:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4. 2. 2.6667 3. 3.2 3.3333 3.4286 3.5 3.5556 3.6
§ 753 Die Genauigkeit nimmt mit zunehmender Zahl von Reiskörnern zu, wie auch in
Abb. 5.10 zu erkennen. Die Genauigkeit nimmt jedoch nicht linear mit der Zahl der Reiskörner
zu: über eine große Zahl von Reiskörnern kann es zu deutlichen Abweichungen vom Zielresultat
in die eine oder andere Richtung kommen. 7
§ 754 Die Resultate werden nicht zwingend besser wenn die Zahl der Reiskörner immer
weiter erhöht wird. Abbildung 5.11 zeigt dazu die Entwicklung des Ergebnisses für π mit zunehmender
Zahl von Reiskörnern: 1000 (links), 10 000 (Mitte) und 100 000 (rechts). Das linke
Teilbild ist dabei ein gutes Beispiel zur Veranschaulichung der Variabilität des Ergebnisses.
Beachten Sie, dass es ebenso wie Abb. 5.10 für 1000 Reiskörner bestimmt wurde: in letzterem
ist die Streuung wesentlich schmaler und das Ergebnis verändert sich nach 400 Reiskörnern
7 Kein Reiskorn weiß, was sein Vorgänger gemacht hat – daher können auch mal ‘zu viele’ im Sinne von
‘mehr als erwartet’ Reiskörner in oder neben den Kreis fallen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode