Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

398 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
§ 1489 Unter Verwendung des Gauß’schen Integralsatzes lässt sich die differentielle Form in
eine integrale überführen. Dazu integrieren wir die Kontinuitätsgleichung (10.23) über ein
Volumenelement und wenden (10.19) auf die rechte Seite an:
∂
∂t
∫
V
ϱ dV = −
∮
O(V)
⃗j · d ⃗ S .
Diese Form der Kontinuitätsgleichung beinhaltet keine andere Aussage als die differentielle
Form, allerdings ist ihre anschauliche Interpretation einfacher: auf der linken Seite steht die
zeitliche Änderung der über das Volumen integrierten Dichte, d.h. die zeitliche Änderung der
Masse im betrachteten Volumen V. Auf der rechten Seite steht der Fluss an Masse durch die
Oberfläche des Volumens. Da der Normalenvektor nach außen weist, ist das Integral positiv,
wenn Masse aus dem Volumen strömt. Auf Grund des negative Vorzeichens auf der rechten
Seite wird dann auch die linke Seite negativ, d.h. die Masse nimmt, wie zu erwarten, ab.
Entsprechend liefert ein Massenstrom in das Volumen hinein ein negatives Integral, mit dem
Vorzeichen auf der rechten Seite also eine positive Änderung der Masse.
10.6.2 Maxwell’sche Gleichungen
§ 1490 Die Maxwell’schen Gleichungen bieten Anwendung sowohl für den Gauß’schen als
auch für den Stokes’schen Integralsatz.
§ 1491 Eine Anwendung des Gauß’schen Integralsatzes ist das Gauß’sche Gesetz des elektrischen
Feldes (1. Maxwell’sche Gleichung):
div ⃗ E = ∇ · ⃗E = ϱ(⃗r)
ε 0
. (10.24)
Die Quellstärke des elektrischen Feldes ist durch die Ladungsdichte ϱ bestimmt, die Permittivität
ε 0 ist eine Kopplungskonstante, die beschreibt, wie stark die Ursache (die Ladung)
und der Effekt (das Feld) gekoppelt sind. Gleichung (10.24) ist die differentielle Darstellung
der ersten Maxwell’schen Gleichung. Die Integraldarstellung dieser Gleichung,
∮
O(V)
∫
⃗E · dS ⃗ =
V
ϱ
ε 0
dV , (10.25)
ist die bekanntere Form: der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Fläche
im drei-dimensionalen Raum (linke Seite) ist gleich der von dieser Fläche eingeschlossenen
Ladung (rechte Seite). Der Übergang zwischen der Integralform und der differentiellen Darstellung
wird durch den Gauß’schen Integralsatz (10.19) beschrieben.
§ 1492 Dazu integrieren wir die differentielle Form (10.24) über ein Volumen V
∫
∫
divE ⃗ ϱ(⃗r)
dV = dV .
ε 0
V
V
Die Anwendung des Gauß’schen Satzes auf die linke Seite liefert
∮
∫
⃗E · dS ⃗ ϱ
= dV ,
ε 0
O(V)
V
bzw. für den Spezialfall, dass die Ladungsdichte außerhalb des Volumens V verschwindet
∮
⃗E · dS ⃗ = q .
ε 0
O(V)
Die linke Seite ist der aus (10.17) bekannte Fluss des elektrischen Feldes.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode